Biết tứ diện đều \(ABCD\) có thể tích bằng \(\frac{1}{3}{a^3}.\) Xác định \(AB.\)
Câu 327819: Biết tứ diện đều \(ABCD\) có thể tích bằng \(\frac{1}{3}{a^3}.\) Xác định \(AB.\)
A. \(2a\sqrt 2 \)
B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
C. \(a\)
D. \(a\sqrt 2 \)
Thể tích khói chóp có chiều cao \(h\) và diện tích \(S\) là \(V = \frac{1}{3}h.S\)
Hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên từ thể tích ta tính được cạnh của hình tứ diện đều.
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi tứ diện đều có \(AB = AC = BC = CD = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)
\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right);AM \bot BC\)
Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(x\) có : \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3};{S_{ABC}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Xét tam giác \(DAH\) vuông tại \(H\) có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)
Thể tích khối tứ diện \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{x\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{a^3} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \)
Vậy \(AB = a\sqrt 2 .\)
Chọn D.
Chú ý:
Các em có thể sử dụng luôn công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(x\) là \(V = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) , từ đó tính được cạnh \(AB.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com