Biết tứ diện đều \(ABCD\) có thể tích bằng \(\frac{1}{3}{a^3}.\) Xác định \(AB.\)

Câu hỏi số 327819:

Thông hiểu

A. \(2a\sqrt 2 \)

B. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(a\)

D. \(a\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:327819

Phương pháp giải

Thể tích khói chóp có chiều cao \(h\) và diện tích \(S\) là \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Hình tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng nhau nên từ thể tích ta tính được cạnh của hình tứ diện đều.

Giải chi tiết

Gọi tứ diện đều có \(AB = AC = BC = CD = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right);AM \bot BC\)

Xét tam giác \(ABC\) đều cạnh \(x\) có : \(AM = \frac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{2}{3}.\frac{{x\sqrt 3 }}{2} = \frac{{x\sqrt 3 }}{3};{S_{ABC}} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Xét tam giác \(DAH\) vuông tại \(H\) có \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{x\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{x\sqrt 6 }}{3}\)

Thể tích khối tứ diện \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}\frac{{x\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Theo giả thiết ta có \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{a^3} = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \)

Vậy \(AB = a\sqrt 2 .\)

Chọn D.

Chú ý khi giải

Các em có thể sử dụng luôn công thức tính thể tích khối tứ diện đều cạnh \(x\) là \(V = \frac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\) , từ đó tính được cạnh \(AB.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.