Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) vuông cân tại \(S.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+ Xác định chiều cao của hình chóp
+ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:
Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\)
Bước 2: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Kẻ đường trung trực một cạnh bên giao với trục đường tròn ở đâu đó chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
+ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp dựa vào định lý Pytago.
+ Mặt cầu có bán kính \(R\) thì có diện tích là \(S = 4\pi {R^2}.\)
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\) gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB;CD\).
Kẻ \(SH \bot MN\) tại \(H.\)
Ta có \(SN \bot DC;\,\,\,MN \bot DC \Rightarrow DC \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow DC \bot SH\)
Mà \(SH \bot MN \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OB = OC = OA = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ; \(OM = ON = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\)
Vì tam giác \(SDC\) vuông cân tại \(S\) có cạnh huyền \(CD = a \Rightarrow SN = \frac{a}{2}\)
Vì tam giác \(ABS\) đều cạnh \(a \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác \(SNM\) có \(M{N^2} = S{N^2} + S{M^2}\,\left( {{a^2} = {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} = \frac{{4{a^2}}}{4} = {a^2}} \right)\) nên \(\Delta SMN\) vuông tại \(S.\)
Suy ra \(SH.MN = SN.SM \Rightarrow SH = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(S{N^2} = NH.NM \Rightarrow HN = \frac{{S{N^2}}}{{MN}} = \frac{a}{4} \Rightarrow HO = \frac{a}{4}\)
Nhận thấy \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\). Kẻ tia \(Oy//SH\) , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên đường thẳng \(Oy.\)
Trên tia \(OM\) ta lấy \(K\) sao cho \(OK = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , khi đó \(K \in \left( {O;OA} \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\), lấy \(E\) là trung điểm \(SK,\) kẻ \(EI\) là đường trung trực của \(SK\) \(\left( {I \in Oy} \right)\) khi đó \(IK = IS = IA = IB = IC = ID\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính là \(R = IK\)
Kẻ \(SF \bot Oy \Rightarrow SF = OH = \frac{a}{4};OF = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Gắn hệ trục \(Oxy\) với \(OM \equiv Ox;Oy//SH\)
Đặt \(I\left( {0;{y_0}} \right) \Rightarrow IF = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}\)
Xét tam giác vuông \(\Delta ISF\) có \(I{S^2} = I{F^2} + S{F^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2}\)
Xét tam giác vuông \(OIK\) có \(I{K^2} = O{I^2} + O{K^2} = {y_0}^2 + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\)
Vì \(IK = IS \Leftrightarrow I{K^2} = I{S^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} = {y_0}^2 + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{y_0} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow {y_0} = - \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra bán kính mặt cầu \(R = IK = \sqrt {y_0^2 + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{{a^2}.21}}{{36}} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
