Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 2m - 6 = 0\) (x là ẩn số). a) Chứng tỏ phương

Câu hỏi số 328530:

Vận dụng

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 2m - 6 = 0\) (x là ẩn số).

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

b) Tính tổng, tích hai nghiệm theo \(m.\)

c) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\) khi \(m = 2\).

A. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\\{\rm{c)}}\,\,A = - \frac{5}{2}\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = - 2m + 6\end{array} \right..\\{\rm{c)}}\,\,A = \frac{3}{2}\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 1\\{x_1}.{x_2} = - 2m + 6\end{array} \right..\\{\rm{c)}}\,\,A = - \frac{3}{2}\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{\rm{b)}}\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - m + 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\\{\rm{c)}}\,\,A = \frac{5}{2}\end{array}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:328530

Phương pháp giải

a) Tính \(\Delta \), để phương trình có 2 nghiệm với mọi \(m \Leftrightarrow \Delta \ge 0\) với mọi \(m.\)

b) Sử dụng hệ thức Vi-ét để tính.

c) Biến đổi biểu thức A sao cho chỉ còn \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sử dụng hệ thức Vi-ét thế vào để tính A theo m, thay \(m = 2\) để tính.

Giải chi tiết

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Có: \(\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4.\left( {2m - 6} \right) = {m^2} - 2m + 1 - 8m + 24 = {m^2} - 10m + 25 = {\left( {m - 5} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

b) Tính tổng, tích hai nghiệm theo m.

Phương trình đã cho luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\)

c) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\) khi \(m = 2\).

Phương trình đã cho luôn có nghiêm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi m.

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 6\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có:

\(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}.{x_2}}} - 2 = \frac{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}}{{2m - 6}} - 2\)

Khi \(m = 2 \Rightarrow A = \frac{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}}{{2.2 - 6}} - 2 = - \frac{1}{2} - 2 = - \frac{5}{2}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.