1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P =

Câu hỏi số 329984:

Vận dụng

1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\)

2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)

Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

A. \(1)\,\,P = 2a + 2.\)

B. \(1)\,\,P = a + 1.\)

C. \(1)\,\,P = 2a + 1.\)

D. \(1)\,\,P = a + 2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329984

Phương pháp giải

1) Chú ý rút gọn \(P\) theo hằng đẳng thức bình phương, từ đó biến đổi \(x\) để phá dấu căn.

2) Thay 4 từ giả thiết vào 4 ở biểu thức cần chứng minh( sau khi đã nhân thêm 4 để ra được hằng đẳng thức).

Giải chi tiết

1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right),\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\) .

Điều kiện: \(a > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1 + {a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^4} + 2{a^3} + {a^2} + 2a + 1 + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \left| {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right| = a + 1 - \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}} > 0} \right)\\ = \frac{{{a^2} + 2a + 1 - {a^2} - a - 1}}{{a + 1}} = \frac{a}{{a + 1}} < 1\,\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow 0 < x < 1\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt x + \left| {\sqrt x - 1} \right| + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{1 - x}}\\ = \frac{2}{{1 - \frac{a}{{a + 1}}}} = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1 - a}} = 2a + 2.\end{array}\)

Vậy \(P = 2a + 2.\)

2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)

Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

Ta có: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4 \Leftrightarrow 4(x + y + z) + 4\sqrt {xyz} = 16.\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right) = x\left[ {16 - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right] = x\left[ {4\left( {x + y + z} \right) + 4\sqrt {xyz} - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right]\\ = x\left( {4x + 4\sqrt {xyz} + yz} \right) = x{\left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} = \sqrt x \left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right) = 2x + \sqrt {xyz} .\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} = 2y + \sqrt {xyz} \\\sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} = 2z + \sqrt {xyz} \end{array} \right..\)

Do vậy:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} - \sqrt {xyz} \\ = 2x + 2y + 2z + 3\sqrt {xyz} - \sqrt {xyz} \\ = 2\left( {x\_y + z + \sqrt {xyz} } \right) = 8.\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link