Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P =
1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\)
2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)
Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)
Đáp án đúng là: A
1) Chú ý rút gọn \(P\) theo hằng đẳng thức bình phương, từ đó biến đổi \(x\) để phá dấu căn.
2) Thay 4 từ giả thiết vào 4 ở biểu thức cần chứng minh( sau khi đã nhân thêm 4 để ra được hằng đẳng thức).
1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right),\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\) .
Điều kiện: \(a > 0,\,\,x \ne 1.\)
\(\begin{array}{l}x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1 + {a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^4} + 2{a^3} + {a^2} + 2a + 1 + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \left| {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right| = a + 1 - \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}} > 0} \right)\\ = \frac{{{a^2} + 2a + 1 - {a^2} - a - 1}}{{a + 1}} = \frac{a}{{a + 1}} < 1\,\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow 0 < x < 1\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt x + \left| {\sqrt x - 1} \right| + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{1 - x}}\\ = \frac{2}{{1 - \frac{a}{{a + 1}}}} = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1 - a}} = 2a + 2.\end{array}\)
Vậy \(P = 2a + 2.\)
2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)
Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)
Ta có: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4 \Leftrightarrow 4(x + y + z) + 4\sqrt {xyz} = 16.\)
Mặt khác:
\(\begin{array}{l}x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right) = x\left[ {16 - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right] = x\left[ {4\left( {x + y + z} \right) + 4\sqrt {xyz} - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right]\\ = x\left( {4x + 4\sqrt {xyz} + yz} \right) = x{\left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} = \sqrt x \left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right) = 2x + \sqrt {xyz} .\end{array}\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} = 2y + \sqrt {xyz} \\\sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} = 2z + \sqrt {xyz} \end{array} \right..\)
Do vậy:
\(\begin{array}{l}\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} - \sqrt {xyz} \\ = 2x + 2y + 2z + 3\sqrt {xyz} - \sqrt {xyz} \\ = 2\left( {x\_y + z + \sqrt {xyz} } \right) = 8.\end{array}\)
Vậy \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
