1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P =

Câu hỏi số 329984:

Vận dụng

1) Cho: $x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.$ Rút gọn $P$ theo $a.$

2) Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn: $x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.$

Chứng minh : $\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.$

$1)\,\,P = 2a + 2.$

$1)\,\,P = a + 1.$

$1)\,\,P = 2a + 1.$

$1)\,\,P = a + 2.$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329984

Phương pháp giải

1) Chú ý rút gọn $P$ theo hằng đẳng thức bình phương, từ đó biến đổi $x$ để phá dấu căn.

2) Thay 4 từ giả thiết vào 4 ở biểu thức cần chứng minh( sau khi đã nhân thêm 4 để ra được hằng đẳng thức).

Giải chi tiết

1) Cho: $x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right),\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.$ Rút gọn $P$ theo $a.$ .

Điều kiện: $a > 0,\,\,x \ne 1.$

$\begin{array}{l}x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1 + {a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^4} + 2{a^3} + {a^2} + 2a + 1 + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \left| {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right| = a + 1 - \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}} > 0} \right)\\ = \frac{{{a^2} + 2a + 1 - {a^2} - a - 1}}{{a + 1}} = \frac{a}{{a + 1}} < 1\,\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow 0 < x < 1\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt x + \left| {\sqrt x - 1} \right| + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{1 - x}}\\ = \frac{2}{{1 - \frac{a}{{a + 1}}}} = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1 - a}} = 2a + 2.\end{array}$

Vậy $P = 2a + 2.$

2) Cho $x,\,y,\,z$ thỏa mãn: $x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.$

Chứng minh : $\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.$

Ta có: $x + y + z + \sqrt {xyz} = 4 \Leftrightarrow 4(x + y + z) + 4\sqrt {xyz} = 16.$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right) = x\left[ {16 - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right] = x\left[ {4\left( {x + y + z} \right) + 4\sqrt {xyz} - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right]\\ = x\left( {4x + 4\sqrt {xyz} + yz} \right) = x{\left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} = \sqrt x \left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right) = 2x + \sqrt {xyz} .\end{array}$

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} = 2y + \sqrt {xyz} \\\sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} = 2z + \sqrt {xyz} \end{array} \right..$

Do vậy:

$\begin{array}{l}\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} - \sqrt {xyz} \\ = 2x + 2y + 2z + 3\sqrt {xyz} - \sqrt {xyz} \\ = 2\left( {x\_y + z + \sqrt {xyz} } \right) = 8.\end{array}$

Vậy $\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.$

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.