1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P =

Câu hỏi số 329984:

Vận dụng

1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right);\,\,\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\)

2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)

Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

A. \(1)\,\,P = 2a + 2.\)

B. \(1)\,\,P = a + 1.\)

C. \(1)\,\,P = 2a + 1.\)

D. \(1)\,\,P = a + 2.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:329984

Phương pháp giải

1) Chú ý rút gọn \(P\) theo hằng đẳng thức bình phương, từ đó biến đổi \(x\) để phá dấu căn.

2) Thay 4 từ giả thiết vào 4 ở biểu thức cần chứng minh( sau khi đã nhân thêm 4 để ra được hằng đẳng thức).

Giải chi tiết

1) Cho: \(x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{(a + 1)}^2}}}} ,\left( {a > 0} \right),\,\,\,P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}.\) Rút gọn \(P\) theo \(a.\) .

Điều kiện: \(a > 0,\,\,x \ne 1.\)

\(\begin{array}{l}x = a + 1 - \sqrt {1 + {a^2} + \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1 + {a^4} + 2{a^3} + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{a^4} + 2{a^3} + {a^2} + 2a + 1 + 2{a^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ = a + 1 - \left| {\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}} \right| = a + 1 - \frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}}\,\,\,\left( {do\,\,\,\frac{{{a^2} + a + 1}}{{a + 1}} > 0} \right)\\ = \frac{{{a^2} + 2a + 1 - {a^2} - a - 1}}{{a + 1}} = \frac{a}{{a + 1}} < 1\,\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow 0 < x < 1\,\,\forall a > 0\\ \Rightarrow P = \frac{{\sqrt x + \sqrt {x - 2\sqrt x + 1} + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }} = \frac{{\sqrt x + \sqrt {{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} + 1}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}\\ = \frac{{\sqrt x + \left| {\sqrt x - 1} \right| + 1}}{{\left| {x - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1}}{{1 - x}}\\ = \frac{2}{{1 - \frac{a}{{a + 1}}}} = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{a + 1 - a}} = 2a + 2.\end{array}\)

Vậy \(P = 2a + 2.\)

2) Cho \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4.\)

Chứng minh : \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

Ta có: \(x + y + z + \sqrt {xyz} = 4 \Leftrightarrow 4(x + y + z) + 4\sqrt {xyz} = 16.\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right) = x\left[ {16 - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right] = x\left[ {4\left( {x + y + z} \right) + 4\sqrt {xyz} - 4\left( {y + z} \right) + yz} \right]\\ = x\left( {4x + 4\sqrt {xyz} + yz} \right) = x{\left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} = \sqrt x \left( {2\sqrt x + \sqrt {yz} } \right) = 2x + \sqrt {xyz} .\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} = 2y + \sqrt {xyz} \\\sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} = 2z + \sqrt {xyz} \end{array} \right..\)

Do vậy:

\(\begin{array}{l}\sqrt {x\left( {4 - y} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {y\left( {4 - x} \right)\left( {4 - z} \right)} + \sqrt {z\left( {4 - x} \right)\left( {4 - y} \right)} - \sqrt {xyz} \\ = 2x + 2y + 2z + 3\sqrt {xyz} - \sqrt {xyz} \\ = 2\left( {x\_y + z + \sqrt {xyz} } \right) = 8.\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {x(4 - y)(4 - z)} + \sqrt {y(4 - x)(4 - z)} + \sqrt {z(4 - x)(4 - y)} - \sqrt {xyz} = 8.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link