Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O), với C
Cho đường tròn (O) và đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F.
1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn.
2) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BF. Chứng minh OE vuông góc với AH.
3) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH. Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF.
4) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF. Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua 2 điểm cố định khi điểm C di động trên (O) thỏa mãn điều kiện.
Quảng cáo
1) Chứng minh đây là tứ giác có góc ngoài bằng góc đối diện.
2) Sử dụng công thức lượng giác sin và xét tam giác AFH và AEO.
3) Chứng minh tứ giác OKDH nội tiếp, ECKD nội tiếp.
4) Chứng minh I luôn di động trên đường thẳng // EF và cách EF một khoảng không đổi OB.
1) Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp.
Ta có: {∠E=12sdcungAB−12sdcungBC=12sdcungAC∠ADC=12sdcungAC
(Vì góc ADC là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn cung AC).
⇒∠E=∠ADC(=12sdcungAC)
⇒ECDF ECDF là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
2) Gọi H là trung điểm của BF. Chứng minh OE vuông AH.
Gọi K là giao điểm EO và AH.
EAF là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên là góc vuông.
Tam giác ABF và ABE đều vuông tại E nên:
sin∠BAF=BFAF=2HFFAsin∠AEB=ABAE=2AOFA
∠BAF=∠AEB (do cùng phụ ∠EAB) nên: HFFA=AOFA
Mặt khác: {∠AFH=∠EAOHFFA=AOFA⇒ΔAFH∼ΔAEO(c−g−c)
⇒∠FAH=∠AEO∠FAH+∠EAK=900=∠AEO+∠EAK⇒∠AEK=900⇒OE⊥AH(dpcm).
3) Gọi K là giao điểm của OE và AH. Chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp ECDF.
Ta có: OBD là tam giác cân tại O nên: ∠ODB=∠OBD.
EDB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên đây là góc vuông, do đó: DH = BH( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Do vậy BHD cân tại H nên: ∠BDH=∠DBH.
Vậy: ∠ODH=∠ODB+∠BDH=∠OBD+∠DBH=∠OBH=900=∠OKH.
Do đó tứ giác OKDH nội tiếp. (dhnb)
⇒{∠KDO=∠KHO∠CEK=∠KHO⇒∠KDO=∠CEK⇒∠CDK=∠CEK
Nên tứ giác ECKD nội tiếp.
Vậy K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ECD.
4) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECDF. Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua 2 điểm cố định khi C di động trên (O).
Gọi N là giao điểm của CB và KH.
Vì các góc ECN, EKN vuông nên: EN là đường kính của (I), I là trung điểm EN.
Gọi P là hình chiếu I lên EF. Do NF vuông EF (vì EFN là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên IP // NF.
IP là đường trung bình tam giác ΔENF⇒IP=FN2.
Tứ giác AFNB có: FN // AB, FA // NB nên là hình bình hành, do vậy: FN=AB.
Do đó: IP=12AB=OB.
Mà OB cố định nên I luôn di động trên đường thẳng song song với EF, cách EF một khoảng không đổi OB.
AB luôn cắt (I) tại 2 điểm. Gọi 2 điểm đó là M và Q, R là bán kính đường tròn tâm O.
{∠MOD=∠COQ∠MDO=∠CQO⇒ΔODM∼ΔOQC(g−g)⇒ODOQ=OMOC⇒OD.OC=R2=OM.OQ{∠CAM=∠QAE∠ACM=∠AQE⇒ΔACM∼ΔAQE(g.g)⇒ACAQ=AMAE⇔AC.AE=AQ.AMAC.AE=AB2=4R2⇒AQ.AM=4R2⇔(AO+OQ)(AO−OM)=4R2⇔(R+OQ)(R−OM)=4R2⇔R2−R.OM+R.OQ−OQ.OM=4R2⇔R2+R(OQ−OM)−R2=4R2⇒OQ−OM=4R.
Do vậy ta luôn tính được OQ, OM theo R. Mà O, R cố định nên Q, M cố định.
Vậy đường tròn (I) luôn đi qua 2 điểm cố định M, Q khi C di động trên đường tròn (O).
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com