Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M\left( {50;\,100} \right)\) và \(N\left( {100;\,\,0}

Câu hỏi số 330525:

Vận dụng

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(M\left( {50;\,100} \right)\) và \(N\left( {100;\,\,0} \right).\) Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó đều là các số nguyên).

A. \(4900\)

B. \(4901\)

C. \(5000\)

D. \(5001\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:330525

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua OM và MN, từ đó suy ra điều kiện các điểm thỏa mãn yêu cầu và giải bất phương trình.

Giải chi tiết

Gọi phương trình đường thẳng OM là: \(y = ax + b.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\50a + b = 100\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow OM:y = 2x.\)

Tương tự ta có:

Phương trình đường thẳng ON là: \(y = 0.\)

Phương trình đường thẳng MN là: \(y = - 2x + 200.\)

Những điểm nằm trong tam giác OMN phải thỏa mãn điều kiện:

\(\left\{ \begin{array}{l}y > 0\\y < 2x\\y < - 2x + 200\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x > 0 \Rightarrow x > 0.\\ - 2x + 200 > 0 \Rightarrow x < 100\end{array} \right..\)

Do tọa độ nguyên nên các điểm thỏa mãn đề bài là: \(x = 1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,.......,\,\,99.\)

Lại có: \(2x \le - 2x + 200 \Leftrightarrow x \le 50;2x > - 2x + 200 \Leftrightarrow x > 50.\)

Từ đó:

Nếu \(x = 1\) ta có \(y < 2x \Rightarrow y < 2 \Rightarrow \) có \(1\) điểm nguyên.

Nếu \(x = 2\) ta có \(y < 2x \Rightarrow y < 4 \Rightarrow \) có \(3\) điểm nguyên.

…………………….

Nếu \(x = 50\) ta có \(y < 2x \Rightarrow y < 100 \Rightarrow \) có \(99\) điểm nguyên.

Nếu \(x = 51 \Rightarrow y < - 2x + 200 \Rightarrow y < 98 \Rightarrow \) có \(97\) điểm nguyên.

……………………..

Nếu \(x = 99\) ta có \(y < - 2x + 200 \Rightarrow y < 2 \Rightarrow \) có \(1\) điểm nguyên.

Vậy tổng số điểm thỏa mãn là : \(2\left( {1 + 3 + 5 + ... + 97} \right) + 99 = 2.\frac{{49\left( {2.1 + 48.2} \right)}}{2} + 99 = 4901\) điểm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.