Cho \(\int\limits_1^a {\dfrac{{x + 1}}{x}dx} = e,\,\left( {a > 1} \right)\). Khi đó, giá trị của a

Câu hỏi số 333418:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_1^a {\dfrac{{x + 1}}{x}dx} = e,\,\left( {a > 1} \right)\). Khi đó, giá trị của a là:

A. \(\dfrac{e}{2}\).

B. \(\dfrac{2}{{1 - e}}\)

C. \(\dfrac{2}{{e - 1}}\)

D. \(e\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:333418

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^a {\dfrac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^a {\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {x + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a + \ln \left| a \right| - 1 = a + \ln a - 1\,\,\,\left( {do\,\,a > 1} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a + \ln a - 1 = e\,\,\left( * \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x + \ln x - 1\,\,\left( {x > 0} \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 1 + \dfrac{1}{x} > 0\,\,\forall x > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \left( * \right)\) có tối đa 1 nghiệm \(a \in \left( {0; + \infty } \right)\). Mà \(f\left( e \right) = e + \ln e - 1 = e \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm duy nhất \(a = e\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.