Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn

Câu hỏi số 334316:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 2\) và \(F\left( e \right) = \ln 2.\) Giá trị của biểu thức \(F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right)\) bằng

A. \(3\ln 2 + 2.\)

B. \(\ln 2 + 2.\)

C. \(\ln 2 + 1.\)

D. \(2\ln 2 + 1.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334316

Phương pháp giải

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

- Thay \(x = \frac{1}{e},\,\,\,x = e\) tìm hằng số \(C\) suy ra hàm số \(F\left( x \right)\).

- Thay các giá trị \(\frac{1}{{{e^2}}}\) và \({e^2}\) vào \(F\left( x \right)\) và tính.

Giải chi tiết

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} \).

Đặt \(\ln x = t \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = dt\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{x\ln x}}} = \int {\frac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {\ln x} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\ln x} \right) + {C_1}\,\,khi\,\,x > 1\\\ln \left( { - \ln x} \right) + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)

+) \(F\left( {\frac{1}{e}} \right) = 2 \Leftrightarrow \ln \left( { - \ln \frac{1}{e}} \right) + {C_1} = 2 \Leftrightarrow {C_1} = 2\).

+) \(F\left( e \right) = \ln 2 \Leftrightarrow \ln \left( {\ln e} \right) + {C_2} = \ln 2 \Leftrightarrow {C_2} = \ln 2\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {\ln x} \right) + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\\\ln \left( { - \ln x} \right) + \ln 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln \left( { - \ln \frac{1}{{{e^2}}}} \right) + \ln 2 = 2\ln 2\) và \(F\left( {{e^2}} \right) = \ln \left( {\ln {e^2}} \right) + 2 = \ln 2 + 2\)

\( \Rightarrow F\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) + F\left( {{e^2}} \right) = 2\ln 2 + \ln 2 + 2 = 3\ln 2 + 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.