Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\), biết \(f\left( x \right) = 2x + \sqrt {1 - {x^2}}

Câu hỏi số 334565:

Vận dụng

Giải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\), biết \(f\left( x \right) = 2x + \sqrt {1 - {x^2}} .\)

A. \(x \in \left( { - 1;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\)

B. \(x \in \left( { - 1;1} \right).\)

C. \(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)

D. \(x \in \left( { - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:334565

Phương pháp giải

+) Tính \(f'\left( x \right)\).

+) Giải BPT dạng \(\sqrt {f\left( x \right)} > g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\) .

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}DKXD:\,\, - 1 \le x \le 1\\f'\left( x \right) = 2 + \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0\,\,\left( {x \in \left( { - 1;1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} - x > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} > x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4\left( {1 - {x^2}} \right) > {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5{x^2} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }} < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 \le x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của BPT là: \(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.