Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi

Câu hỏi số 335817:

Vận dụng

Biết \(f(x)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f(x)dx = 4} \). Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right]} dx\) bằng:

A. \(2 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

B. \(2 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(3 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:335817

Phương pháp giải

- Tách tích phân cần tính thành hai tích phân.

- Tính các tích phân có được bằng cách sử dụng tích phân cơ bản và phương pháp đổi biến tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)} dx - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = I - J\)

Tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( {2x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x \Rightarrow dt = 2dx\)\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}.4 = 2\).

Tính \(J = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin x} dx = - \left. {\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} = - \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - 1} \right) = 1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(I - J = 2 - \left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) hay \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left[ {f(2x) - \sin x} \right]} dx = 1 + \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.