Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và biểu
Cho \(x,y\) là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và biểu thức \(Q = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \) đạt giá trị lớn nhất. Tìm \(P = x + y\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng phương trình đường tròn để tìm giá trị lớn nhất của \(Q\) từ đó tìm \(x,y.\)
Ta có \(Q = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {Q^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + 2\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \\ \le 2\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right] = 4\left( {{x^2} + {y^2} - 2y + 6} \right) = 4\left[ {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \right] + 20.\end{array}\)
Vì Q đạt giá trị lớn nhất nên \({Q^2}\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất
Ta có x, y là hai số thực thỏa mãn \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)
\( \Rightarrow \) \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ điểm thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {4;3} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 5 \)
Mặt khác để \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \left( {x;\,y} \right)\) cũng là điểm thuộc đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(I\left( {0;1} \right)\) sao cho bán kính lớn nhất.
Gọi \(\left( C \right)\) giao tia đối của tia AI tại B
Ta có: \(IA = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 > R\)
\( \Rightarrow \) I nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\)
\( \Rightarrow \) Để thỏa mãn đề bài \( \Leftrightarrow B\left( {x;y} \right)\)
\(\overrightarrow {IA} = \left( {4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( { - 2;4} \right)\)
Phương trình IA: \( - 2x + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y - 2 = 0\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {IA} \right)\\B \in \left( C \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + 2y - 2 = 0\\{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\5{\left( {y - 3} \right)^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\\left[ \begin{array}{l}y - 3 = 1\\y - 3 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y - 2\\\left[ \begin{array}{l}y = 4\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {6;4} \right)\\B\left( {2;2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vì B và I khác phía với A \( \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)
\( \Rightarrow P = x + y = 6 + 4 = 10\)
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
