Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chọn được một số nguyên tố cùng

Câu hỏi số 338663:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chọn được một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại.

Xem lời giải

Câu hỏi:338663

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất các số nguyên tố cùng nhau bằng cách xác định điểm nổi bật của dãy.

Giải chi tiết

Gọi dãy liên tiếp là \(a;\,\,a+1;\,\,a+2;\,\,a+3;\,\,a+4\).

Xét \(a = 1;2;3;4;5\) đúng.

Xét \(a>5\) ta thấy : trong dãy số trên luôn tồn tại một số lẻ có ước nguyên tố lớn hơn 3.

Thật vậy: Trong dãy số trên tồn tại ít nhất hai số lẻ và có nhiều nhất 2 số chia hết cho 3. Nếu cả hai số lẻ này đều chia hết cho 3 thì giữa chúng có chưa ít nhất 5 số khác. Điều này vô lí.

Vậy chỉ có duy nhất một số lẻ trong dãy trên chia hết cho 3 hay nói cách khác số lẻ còn lại luôn có ước lẻ lớn hơn 3.

Ta đi chứng minh số đó nguyên tố cùng nhau với bốn số còn lại.

Gọi số đó là \(b\).

Giả sử phản chứng tồn tại số c không nguyên tố cùng nhau với .

Khi đó: Đặt \(d = \left( {b;c} \right) > 1 \Rightarrow d|\left| {b - c} \right| < 5\)

Mà \(d|b\) nên \(d\) là một ước lẻ của \(b\) và \(d > 3\) nên \(d\ge 5\) (mâu thuẫn với điều kiện)

Vậy trong 5 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chọn được một số nguyên tố cùng nhau với các số còn lại (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.