Chứng minh rằng \(\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1;{{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)=1\).

Câu hỏi số 338664:

Vận dụng

Xem lời giải

Câu hỏi:338664

Phương pháp giải

Áp dụng thuật toán Euclid .

(Bài toán Euclid : Để tìm \(\left( {a;b} \right)\) khi \(a\) không chia hết cho \(b\) ta dùng thuật toán Euclide sau:

\(a=b.q+{{r}_{1}}\) thì \(\left( {a;b} \right) = \left( {b;{r_1}} \right)\).

\(b = {r_1}.{q_1} + {r_2}\) thì \(\left( b;{{r}_{1}} \right)=\left( {{r}_{1}};{{r}_{2}} \right)\)

\({r_{n - 2}} = {r_{n - 1}}.{q_{n - 1}} + {r_n}\) thì \(\left( {{r}_{n-2}};{{r}_{n-1}} \right)=\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)\)

\({{r}_{n-1}}={{r}_{n}}.{{q}_{n}}\) thì \(\left( {{r}_{n-1}};{{r}_{n}} \right)={{r}_{n}}\)

\(\left( {a;b} \right) = {r_n}\)

\(\Rightarrow \left( a;b \right)\) là số dư cuối cùng khác 0 trong thuật toán Euclide.)

Giải chi tiết

Gọi \(d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1;{{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)\Rightarrow d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1;\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)-\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}-1 \right) \right)\Rightarrow d=\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1;2 \right)\)

Lại có \(\left( {{2}^{{{2}^{n}}}}+1 \right)\) là số lẻ nên \(d = 1\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.