Cho \(m,n\in \mathbb{N}\) với \(\left( m;n \right)=1\). Tìm \(\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}};m+n \right)\).

Câu hỏi số 338665:

Vận dụng

Xem lời giải

Câu hỏi:338665

Phương pháp giải

Biến đổi dựa tính chất chia hết của các số.

Giải chi tiết

Gọi \(d = \left( {{m^2} + {n^2};m + n} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + {n^2}\,\, \vdots \,\,d\\m + n\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\).

\(\eqalign{ & \Rightarrow \left\{ \matrix{ {\left( {m + n} \right)^2} - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr m + n\,\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr m + n\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2n\left( {m + n} \right) - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr 2m\left( {m + n} \right) - 2mn\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2{n^2}\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr 2{m^2}\,\, \vdots \,\,d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow d|\left( {2{m^2};2{n^2}} \right) = 2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) = 2 \Rightarrow d \in \left\{ {1;2} \right\} \cr} \)

Nếu \(m+n\,\,\vdots \,\,2\Rightarrow d=2\)

Nếu \(\left( m+n \right)\) lẻ \( \Rightarrow d = 1\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.