Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\) là dãy số

Câu hỏi số 338666:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\) là dãy số nguyên tố cùng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:338666

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của ước số chung.

Giải chi tiết

Gọi d là ƯCLN của dãy Fermat. Ta đi chứng minh .

Ta có: \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\) có thể viết thành \({F_k} = {a^{{2^k}}} + {b^{{2^k}}}\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) với \(\left( a;b \right)=1\) và \(2|ab\).

Vì \(2|ab\) và \(\left( {a;b} \right) = 1\) nên giả sử \(a\) là số chẵn thì \(b\) phải là số lẻ.

Giả sử \(m>n\) với \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên bất kỳ.

Gọi \(\left( {{F}_{m}};{{F}_{n}} \right)=d\) (\(d\) là số lẻ vì \({{F}_{m}},\,\,{{F}_{n}}\) lẻ )

Ta có \({a^{2n + 1}} - {b^{2n + 1}}|{\left( {{a^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}} - {\left( {{b^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}}\) vì \(x-y|{{x}^{k}}-{{y}^{k}}\).

Mà \({{a}^{2n}}+{{b}^{2n}}|{{\left( {{a}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{n}}|{{F}_{m}}-2{{b}^{{{2}^{m}}}}\)

Từ \(d|{{F}_{n}}\) và \(d|{F_m}\) \(\Rightarrow d|2{{b}^{{{2}^{m}}}}\Rightarrow d|{{b}^{{{2}^{m}}}}\). Mà \(d|{{F}_{m}}\Rightarrow d|{{a}^{{{2}^{m}}}}\).

Kết hợp giả thuyết \(\left( a;b \right)=1\Rightarrow d=1\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link