Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\) là dãy số

Câu hỏi số 338666:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng dãy Fermat \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\) là dãy số nguyên tố cùng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi:338666

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của ước số chung.

Giải chi tiết

Gọi d là ƯCLN của dãy Fermat. Ta đi chứng minh .

Ta có: \({{F}_{n}}={{2}^{{{2}^{n}}}}+1\) có thể viết thành \({F_k} = {a^{{2^k}}} + {b^{{2^k}}}\,\,\left( {k \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\) với \(\left( a;b \right)=1\) và \(2|ab\).

Vì \(2|ab\) và \(\left( {a;b} \right) = 1\) nên giả sử \(a\) là số chẵn thì \(b\) phải là số lẻ.

Giả sử \(m>n\) với \(m,\,\,n\) là các số tự nhiên bất kỳ.

Gọi \(\left( {{F}_{m}};{{F}_{n}} \right)=d\) (\(d\) là số lẻ vì \({{F}_{m}},\,\,{{F}_{n}}\) lẻ )

Ta có \({a^{2n + 1}} - {b^{2n + 1}}|{\left( {{a^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}} - {\left( {{b^{2n + 1}}} \right)^{m - n - 1}}\) vì \(x-y|{{x}^{k}}-{{y}^{k}}\).

Mà \({{a}^{2n}}+{{b}^{2n}}|{{\left( {{a}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}-{{\left( {{b}^{{{2}^{n}}}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{F}_{n}}|{{F}_{m}}-2{{b}^{{{2}^{m}}}}\)

Từ \(d|{{F}_{n}}\) và \(d|{F_m}\) \(\Rightarrow d|2{{b}^{{{2}^{m}}}}\Rightarrow d|{{b}^{{{2}^{m}}}}\). Mà \(d|{{F}_{m}}\Rightarrow d|{{a}^{{{2}^{m}}}}\).

Kết hợp giả thuyết \(\left( a;b \right)=1\Rightarrow d=1\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.