i) Tìm số tự nhiên \(n\) để \(7|\left( {{2}^{n}}-1 \right)\). ii) Chứng minh rằng \(7\not |\left( {{2^n} +

Câu hỏi số 339522:

Vận dụng

i) Tìm số tự nhiên \(n\) để \(7|\left( {{2}^{n}}-1 \right)\).

ii) Chứng minh rằng \(7\not |\left( {{2^n} + 1} \right)\,\,\forall n \in \mathbb{N}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:339522

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của n và đánh giá.

Giải chi tiết

i) TH1: \(n = 3k\)

Ta có: \({2^n} - 1 = {2^{3k}} - 1 = {8^k} - 1 = \left( {8 - 1} \right)A = 7A\) chia hết cho 7

TH2: \(n=3k+1\)

Ta có: \({{2}^{n}}-1={{2}^{3k+1}}-1={{2.8}^{k}}-1=2\left( {{8}^{k}}-1 \right)+1\)

\(=2.\left( 8-1 \right)A+1=2.7A+1\) không chia hết cho 7.

TH3: \(n = 3k + 2\)

Ta có: \({{2}^{n}}-1={{2}^{3k+2}}-1={{4.8}^{k}}-1=4.\left( {{8}^{k}}-1 \right)+3=4.7A+3\) không chia hết cho 7.

Vậy \(\forall n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\)sao cho \(n\,\,\vdots \,\,3\) thì\(7|\left( {{2}^{n}}-1 \right)\).

ii) TH1: \(n=3k\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k}} + 1 = {8^k} + 1 = {\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 7A + 1 + 1\) không chia hết cho 7.

TH2: \(n=3k+1\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k + 1}} + 1 = {2.8^k} + 1 = 2.{\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 2.\left( {7A + 1} \right) + 1\) không chia hết cho 7.

TH3: \(n = 3k + 2\)

Ta có: \({2^n} + 1 = {2^{3k + 2}} + 1 = {4.8^k} + 1 = 4.{\left( {7 + 1} \right)^k} + 1 = 4.\left( {7A + 1} \right) + 1\) không chia hết cho 7.

Vậy \(7\not{|}\left( {{2}^{n}}+1 \right)\,\,\forall n\in \mathbb{N}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.