Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(x,\,\,y,\,\,z\) nếu \(6|x+y+z\) thì \(6|{x^3} + {y^3} +

Câu hỏi số 339527:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(x,\,\,y,\,\,z\) nếu \(6|x+y+z\) thì \(6|{x^3} + {y^3} + {z^3}\).

Xem lời giải

Câu hỏi:339527

Phương pháp giải

Xét hiệu và đánh giá.

Giải chi tiết

Ta xét hiệu:

\(\begin{align} \left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)-\left( x+y+z \right)=\left( {{x}^{3}}-x \right)+\left( {{y}^{3}}-y \right)+\left( {{z}^{3}}-z \right) \\ =x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right) \\ \end{align}\)

Ta thấy \(\left\{ \begin{align} x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right) \\ y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right) \\ z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right) \\ \end{align} \right.\) là các bộ 3 số tự nhiên nhiên liên tiếp nên

\(\begin{align}x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+y\left( y-1 \right)\left( y+1 \right)+z\left( z-1 \right)\left( z+1 \right)\,\,\vdots \,\,6 \\ \Rightarrow 6|\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)-\left( x+y+z \right) \\ \end{align}\)

Mà \(6|x + y + z\)\(\Rightarrow 6|\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.