Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x2+y2=z2. Chứng minh rằng xyz chia

Câu hỏi số 339531:
Vận dụng

Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x2+y2=z2. Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60.

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:339531
Phương pháp giải

Phân tích, lập luận và đánh giá theo x,y,z.

Giải chi tiết

Ta có: 60=3.4.5

+) Giả sử: cả x,y,z đều không chia hết cho 3.

    Khi đó x,y,z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên x2;y2;z2 chia cho 3 dư 1.

    Suy ra chia cho 3 dư 2 mà z2 chia cho 3 dư 1           (vô lí)

    Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.

    Vậy xyz⋮3            (1).

+)  Giả sử cả x,y,z không chia hết cho 4.
     Khi đó x,y,z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    -) Xét TH1: Cả x,y,z lẻ suy ra x2;y2;z2 chia 4 dư 1.
        ⇒z2=x2+y2≡2(mod4) ( loại )
    -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn ⇒xyz⋮4
    -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
                        Với x,y  lẻ thì z2=x2+y2≡2(mod4) ( loại do z chẵn nên z2≡0(mod4))
                        Với x,z  lẻ thì y2=z2−x2=(z−x)(z+x).
       Ta luôn có y2=(z−x)(z+x)⋮8  mà y2⋮̸4           (vô lí)

      Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Vậy xyz⋮4     (2).
+) Giả sử cả x,y,z không chia hết cho 5.
    Khi đó x,y,z chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra x2;y2;z2 chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    -) Xét TH1: x2 chia cho 5 dư 1; y2 chia cho 5 dư 1 ⇒z2=x2+y2≡2(mod5)   (loại)
    -) Xét TH2:  chia cho 5 dư -1; y2 chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv  - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\)  (loại)
    -) Xét TH3: x2 chia cho 5 dư 1; y2 chia cho 5 dư -1⇒z2=x2+y2≡0(mod5)   (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.

Vậy xyz⋮5    (3).
Từ (1); (2) và (3) ⇒xyz⋮3.4.5=60(dpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn
@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1
agent avatar
Tuyensinh247.com - 18006947
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Tuyensinh247.com - 18006947
Tuyensinh247.com - 18006947
agent avatar
Luôn sẵn sàng hỗ trợ!
Em để lại tên và SĐT nhé! Tuyensinh247.com sẽ hỗ trợ tốt nhất cho em!
Subiz