Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh rằng \(xyz\) chia

Câu hỏi số 339531:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh rằng \(xyz\) chia hết cho 60.

Xem lời giải

Câu hỏi:339531

Phương pháp giải

Phân tích, lập luận và đánh giá theo \(x,\,\,y,\,\,z\).

Giải chi tiết

Ta có: \(60=3.4.5\)

+) Giả sử: cả \(x,\,\,y,\,\,z\) đều không chia hết cho 3.

Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 3 dư 1.

Suy ra chia cho 3 dư 2 mà \({z^2}\) chia cho 3 dư 1 (vô lí)

Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.

Vậy \(xyz \vdots 3\) (1).

+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 4.
     Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    -) Xét TH1: Cả \(x,\,\,y,\,\,z\) lẻ suy ra \({{x}^{2}};{{y}^{2}};{{z}^{2}}\) chia 4 dư 1.
        \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 4 \right)\) ( loại )
    -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn \( \Rightarrow xyz \vdots 4\)
    -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
                        Với \(x,\,\,y\) lẻ thì \({{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod4 \right)\) ( loại do z chẵn nên \({{z}^{2}}\equiv 0\,\,\left( \bmod 4 \right)\))
                        Với \(x,\,\,\,z\) lẻ thì \({{y}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)\).
       Ta luôn có \({y^2} = \left( {z - x} \right)\left( {z + x} \right)\,\, \vdots \,\,8\) mà \({y^2}\not \vdots 4\)           (vô lí)

Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Vậy \(xyz\vdots 4\)     (2).
+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 5.
    Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    -) Xét TH1: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư 1 \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right)\) (loại)
    -) Xét TH2: chia cho 5 dư -1; \({y^2}\) chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\) (loại)
    -) Xét TH3: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư -1\(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right)\) (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.

Vậy \(xyz \vdots 5\) (3).
Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.