Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh rằng \(xyz\) chia

Câu hỏi số 339531:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh rằng \(xyz\) chia hết cho 60.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339531

Phương pháp giải

Phân tích, lập luận và đánh giá theo \(x,\,\,y,\,\,z\).

Giải chi tiết

Ta có: \(60=3.4.5\)

+) Giả sử: cả \(x,\,\,y,\,\,z\) đều không chia hết cho 3.

Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 3 dư 1.

Suy ra chia cho 3 dư 2 mà \({z^2}\) chia cho 3 dư 1 (vô lí)

Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.

Vậy \(xyz \vdots 3\) (1).

+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 4.
     Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
    -) Xét TH1: Cả \(x,\,\,y,\,\,z\) lẻ suy ra \({{x}^{2}};{{y}^{2}};{{z}^{2}}\) chia 4 dư 1.
        \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 4 \right)\) ( loại )
    -) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn \( \Rightarrow xyz \vdots 4\)
    -) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
                        Với \(x,\,\,y\) lẻ thì \({{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod4 \right)\) ( loại do z chẵn nên \({{z}^{2}}\equiv 0\,\,\left( \bmod 4 \right)\))
                        Với \(x,\,\,\,z\) lẻ thì \({{y}^{2}}={{z}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( z-x \right)\left( z+x \right)\).
       Ta luôn có \({y^2} = \left( {z - x} \right)\left( {z + x} \right)\,\, \vdots \,\,8\) mà \({y^2}\not \vdots 4\)           (vô lí)

Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.

Vậy \(xyz\vdots 4\)     (2).
+) Giả sử cả \(x,\,\,y,\,\,z\) không chia hết cho 5.
    Khi đó \(x,\,\,y,\,\,z\) chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra \({x^2};{y^2};{z^2}\) chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
    -) Xét TH1: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư 1 \(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right)\) (loại)
    -) Xét TH2: chia cho 5 dư -1; \({y^2}\) chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\) (loại)
    -) Xét TH3: \({{x}^{2}}\) chia cho 5 dư 1; \({{y}^{2}}\) chia cho 5 dư -1\(\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right)\) (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.

Vậy \(xyz \vdots 5\) (3).
Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link