Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x2+y2=z2. Chứng minh rằng xyz chia
Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x2+y2=z2. Chứng minh rằng xyz chia hết cho 60.
Quảng cáo
Phân tích, lập luận và đánh giá theo x,y,z.
Ta có: 60=3.4.5
+) Giả sử: cả x,y,z đều không chia hết cho 3.
Khi đó x,y,z chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 nên x2;y2;z2 chia cho 3 dư 1.
Suy ra chia cho 3 dư 2 mà z2 chia cho 3 dư 1 (vô lí)
Nên tồn tại ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3.
Vậy xyz⋮3 (1).
+) Giả sử cả x,y,z không chia hết cho 4.
Khi đó x,y,z chia cho 4 dư 1; 2 hoặc 3.
-) Xét TH1: Cả x,y,z lẻ suy ra x2;y2;z2 chia 4 dư 1.
⇒z2=x2+y2≡2(mod4) ( loại )
-) Xét TH2 : Có ít nhất 2 số chẵn ⇒xyz⋮4
-) Xét TH3: Có 1 số chẵn và 2 số lẻ.
Với x,y lẻ thì z2=x2+y2≡2(mod4) ( loại do z chẵn nên z2≡0(mod4))
Với x,z lẻ thì y2=z2−x2=(z−x)(z+x).
Ta luôn có y2=(z−x)(z+x)⋮8 mà y2⋮̸ (vô lí)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4.
Vậy xyz\vdots 4 (2).
+) Giả sử cả x,\,\,y,\,\,z không chia hết cho 5.
Khi đó x,\,\,y,\,\,z chia cho 5 dư 1; 2; 3; 4 suy ra {x^2};{y^2};{z^2} chia cho 5 dư 1 hoặc -1.
-) Xét TH1: {{x}^{2}} chia cho 5 dư 1; {{y}^{2}} chia cho 5 dư 1 \Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( mod5 \right) (loại)
-) Xét TH2: chia cho 5 dư -1; {y^2} chia cho 5 dư 1\) \Rightarrow {z^2} = {x^2} + {y^2} \equiv - 1\,\,\left( {\bmod 5} \right)\) (loại)
-) Xét TH3: {{x}^{2}} chia cho 5 dư 1; {{y}^{2}} chia cho 5 dư -1\Rightarrow {{z}^{2}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 5 \right) (loại)
Nên tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 5.
Vậy xyz \vdots 5 (3).
Từ (1); (2) và (3) \Rightarrow xyz\,\, \vdots \,\,3.4.5 = 60\,\,\left( {dpcm} \right).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
