Cho \(n>3\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\). Chứng minh rằng nếu \({{2}^{n}}=10a+b\,\,\,\left( 0<b<9

Câu hỏi số 339532:

Vận dụng

Cho \(n>3\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right)\). Chứng minh rằng nếu \({{2}^{n}}=10a+b\,\,\,\left( 0<b<9 \right)\) thì \(6|ab\) .

Xem lời giải

Câu hỏi:339532

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của \(n\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Dễ thấy \(b\) luôn là số chẵn nên ta cần chứng minh trong \(a,\,\,b\) có một số chia hết cho 3.

+) TH1: \(n=4k\) thì \({2^n} = {2^{4k}} = {16^k} = \overline {...6} \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 6|ab\)

+) TH2: \(n = 4k + 1 \Rightarrow {2^n} = {2^{4k + 1}} = {2.16^k} - 2 + 2 = 2\left( {16 - 1} \right)A + 2 = 2.15A + 2 \equiv 2\,\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

Từ suy ra \({2^n}\)có tận cùng là 2 nên \(b = 2 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3\). Từ đó suy ra \(6|ab\).

+) TH3: \(n = 4k + 2 \Rightarrow {2^n} = {2^{4k + 2}} = {4.16^k} \equiv 1\,\,\left( {\bmod 3} \right)\)

Từ \(n=4k+2\Rightarrow {{2}^{n}}\)có tận cùng là 4 nên \(b = 4 \Rightarrow 10a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,3\). Từ đó suy ra \(6|ab\).

+) TH4: \(n = 4k + 3\). Tương tự như TH2 \( \Rightarrow 6|ab\).

Vậy với \(n > 3\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) , nếu \({{2}^{n}}=10a+b\,\,\,\left( 0<b<9 \right)\) thì \(6|ab\) .

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.