Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thoản mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 339533:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thoản mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) chia hết cho 84.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339533

Phương pháp giải

Phân tích, lập luận và đánh giá theo tổng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\).

Giải chi tiết

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 3 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\left( 1 \right)\) .

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\) hoặc \(2{{z}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) vô lí.

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2}\) chia cho 3 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 3. (*)

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 16 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1,\,\,4,\,\,9,\,\,0,\,\,5,\,\,10,\,\,13\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0,\,\,2,\,\,8\,\,\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4 ) \(\Rightarrow \) vô lí.

\(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\) chia cho 16 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 16 (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho .

Vậy \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) chia hết cho 48 (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link