Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thoản mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng

Câu hỏi số 339533:

Vận dụng

Cho các số nguyên dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thoản mãn \({x^2} + {y^2} = 2{z^2}\). Chứng minh rằng \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) chia hết cho 84.

Xem lời giải

Câu hỏi:339533

Phương pháp giải

Phân tích, lập luận và đánh giá theo tổng \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\).

Giải chi tiết

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 3 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\left( 1 \right)\) .

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\) hoặc \(2{{z}^{2}}\equiv 2\,\,\,\left( \bmod 3 \right)\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) vô lí.

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2}\) chia cho 3 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 3. (*)

Nếu \({x^2} + {y^2}\) chia cho 16 khác số dư thì : \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\equiv 1,\,\,4,\,\,9,\,\,0,\,\,5,\,\,10,\,\,13\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Mà \(2{{z}^{2}}\equiv 0,\,\,2,\,\,8\,\,\,\,\left( \bmod 16 \right)\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4 ) \(\Rightarrow \) vô lí.

\(\Rightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\) chia cho 16 có cùng số dư \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho 16 (**)

Từ (*) và (**) \( \Rightarrow {x^2} - {y^2}\) chia hết cho .

Vậy \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) chia hết cho 48 (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.