Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}}

Câu hỏi số 341997:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = a\ln 5 + b\ln 3 + c,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\), tính \(a + b + c\).

A. \(8\).

B. \(10\)

C. \(9\).

D. \(11\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341997

Phương pháp giải

+) Đặt ẩn phụ \({x^2} + 9 = t\).

+) Sử dụng công thức từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = u\left. v \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \) .

Giải chi tiết

Đặt \({x^2} + 9 = t \Rightarrow 2xdx = dt\). Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 9\\x = 4 \Rightarrow t = 25\end{array} \right.\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\int\limits_0^4 {x\ln \left( {{x^2} + 9} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_9^{25} {\ln tdt} = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {t\ln t} \right|_9^{25} - \int\limits_9^{25} {t.\dfrac{1}{t}dt} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {t\ln t} \right|_9^{25} - \int\limits_9^{25} {dt} } \right) = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {t\ln t - t} \right)} \right|_9^{25} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {25\ln 25 - 25} \right) - \left( {9\ln 9 - 9} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {50\ln 5 - 25} \right) - \left( {18\ln 3 - 9} \right)} \right] = 25\ln 5 - 9\ln 3 - 8\\ \Rightarrow a + b + c = 25 - 9 - 8 = 8.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.