Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (T) có tâm O, bán kính R=2a.
Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (T) có tâm O, bán kính R=2a. Tiếp tuyến của (T) tại C cắt các tia AB,AD lần lượt tại E,F.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF và BEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Đường thẳng d qua A vuông góc với BD và d cắt (T),EF theo thứ tự tại M,N (M≠A). Chứng minh BMNE là tứ giác nội tiếp và N là trung điểm của EF.
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. Tính IN theo a.
Quảng cáo
a) Chứng tam giác ABD và tam giác AFE đồng dạng, từ đó suy ra tỉ số.
Sử dụng định nghĩa: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 để chứng minh BEFD là tứ giác nội tiếp.
b) Sử dụng định nghĩa: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 để chứng minh BMNE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh các tam giác NAF,NAE là các tam giác cân.
c) Sử dụng mối quan hệ giữa đường kính và dây cung để chứng minh các đường thẳng vuông góc từ đó suy ra cac yếu tố song song. Chứng minh tứ giác ANIO là hình bình hành.
a) Chứng minh AB.AE=AD.AF và BEFD là tứ giác nội tiếp.
Ta có: ∠ABD=∠ACD (1) (hai góc nội tiếp chắn cung AD)
Có: ∠ACD+∠CAD=900 (tam giác ACD vuông tại D)
⇒∠AFE+∠CAD=900 (tam giác ACF vuông tại C)
⇒∠ACD=∠AFE (2).
Từ (1) và (2) ⇒∠ABD=∠AFE .
Xét tam giác ABD và tam giác AFE có:
∠EAF chung;
∠ABD=∠AFE(cmt);
⇒ABD∼ΔAFE(g.g)⇒ABAF=ADAE⇒AB.AE=AD.AF(dpcm).
Ta có ∠ABD=∠AFE(cmt), mà ∠ABD+DBE=1800 (kề bù)
⇒∠AFE+∠DBE=1800⇒ Tứ giác BEFD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
b) Đường thẳng d qua A vuông góc với BD và d cắt (T),EF theo thứ tự tại M,N (M≠A). Chứng minh BMNE là tứ giác nội tiếp và N là trung điểm của EF.
* Do BEFD là tứ giác nội tiếp (cmt) ⇒∠AEF=∠ADB (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đổi diện của tứ giác nội tiếp).
Mà ∠ADB=∠AMB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn (T))
⇒∠AEF=∠AMB. Mà ∠AMB+∠BMN=1800 (kề bù)
⇒∠AEF+∠BMN=1800⇒ Tứ giác BMNE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
* Gọi H=AM∩BD.
Ta có BD⊥AM tại H⇒H là trung điểm của AM (quan hệ giữa đường kính và dây cung).
Xét tam giác ABM có BH là đường cao đồng thời là trung tuyến ⇒ΔABM cân tại B.
⇒ Đường cao BH đồng thời là phân giác của ∠ABM⇒∠ABD=∠MBD.
Ta có ∠ABD=∠AFE(cmt).
∠MBD=∠MAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MD của đường tròn (T))
⇒∠AFE=∠MAD ⇒ΔNAF cân tại N (tam giác có 2 góc bằng nhau).
⇒NA=NF(3) (2 cạnh bên của tam giác cân).
Ta có: ∠NAF+∠NAE=∠EAF=900
∠AFE+∠AEF=900 (tam giác AEF vuông tại A).
Mà ∠NAF=∠AFE(cmt)⇒∠NAE=∠AEF⇒ΔNAE cân tại N (tam giác có 2 góc bằng nhau).
⇒NA=NE(4) (2 cạnh bên của tam giác cân).
Từ (3) và (4) ⇒NE=NF. Mà N∈EF⇒N là trung điểm của EF (đpcm).
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF. Tính IN theo a.
Vì N là trung điểm của EF(cmt)
⇒IN⊥EF={N} (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung).
Có EF là tiếp tuyến của (T)(gt)⇒AC⊥EF={C}
⇒AC//NI(⊥EF) hay AO//IN.
Ta có BEFD là tứ giác nội tiếp (cmt)
⇒D∈(I).
Lại có O là trung điểm của BD⇒OI⊥BD (mối quan hệ giữa đường kính và dây cung)
Mặt khác NA⊥BD={H}⇒IO//AN(⊥BD)
Xét tứ giác ANIO ta có : {AN//IOAO//NI⇒ANIO là hình bình hành (dhnb).
⇒NI=AO=R=2a.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
