Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(BC = 2a\),

Câu hỏi số 342363:

Thông hiểu

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(A'B\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\)(tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

A. \(\frac{{{a^3}}}{3}.\)

B. \(3{a^3}.\)

C. \({a^3}.\)

D. \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342363

Phương pháp giải

Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa \(d\) và \(d'\) với \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên \(\left( P \right).\)

Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \(h\) và diện tích đáy \(S\) là \(V = h.S\)

Sử dụng định lý Pytago và tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính toán.

Giải chi tiết

Hình chiếu của \(A'C\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(BC\) nên góc giữa \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(A'C\) và \(BC\) hay \(\angle A'CB = {30^0}\)

Vì \(A'B \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'B \bot BC\)

Xét tam giác vuông \(A'BC\) có \(A'B = BC.\sin \angle A'CB = 2a.\tan 30^\circ = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Xét tam giác vuông \(ABC\), theo định lý Pytago ta có \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Thể tích khối lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'B.{S_{ABC}} = A'B.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = {a^3}\) .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.