Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Chọn đáp án đúng nhất:
Chọn đáp án đúng nhất:
Trả lời cho các câu 342503, 342504 dưới đây:
Đáp án đúng là: C
\(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1|3x - 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 \le \left| {3x - 1} \right|\)
Phá trị tuyệt đối, hạn chế các giá trị của x.
Với từng giá trị của x nguyên, tìm giá trị y nguyên tương ứng.
Ta có: \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{y^2} + xy} \right) = 3x - 1\,\,\,\,\left( * \right) \Rightarrow {x^2} - x + 1|3x - 1 \Rightarrow {x^2} - x + 1 \le \left| {3x - 1} \right|\)
TH1: \(x \ge \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le 3x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 - \sqrt 2 \le x \le 2 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\) .
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}\).
TH2: \(x < \frac{1}{3} \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \le - 3x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 0\,\,\left( {tm} \right)\).
Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\).
\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).
+) Với \(x = - 2 \Rightarrow 7\left( {{y^2} - 2y} \right) = - 7 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} - 2y = - 1 \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow y = 1\,\,\left( {tm} \right)\) .
+) Với \(x = - 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} - y} \right) = - 4 \Leftrightarrow {y^2} - y = - \frac{4}{3}\) (vô nghiệm y nguyên).
+) Với \(x = 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} = - 1\) (vô nghiệm).
+) Với \(x = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {y^2} + y = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = - 2\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\)
+) Với \(x = 2 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 3\left( {{y^2} + 2y} \right) = 5 \Leftrightarrow {y^2} + 2y = \frac{5}{3}\) (vô nghiệm y nguyên).
+) Với \(x = 3 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 7\left( {{y^2} + 3y} \right) = 8 \Leftrightarrow {y^2} + 3y = \frac{8}{7}\) (vô nghiệm y nguyên).
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left\{ {\left( { - 2;1} \right);\,\,\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1; - 2} \right)} \right\}.\)
Đáp án đúng là: B
Dựa vào giả thiết, nhận xét tử và mẫu, từ đó tìm GTNN của biểu thức \(M.\)
Ta có: \(1 \le y \le 2 \Leftrightarrow {y^2} \le 2y \le xy + 2 \le 2x + 2 \Leftrightarrow {y^2} + 1 \le 2x + 3\).
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{y^2} + 1}} \ge \frac{1}{{2x + 3}}\).
Ta có: \(xy + 2 \ge 2y \Leftrightarrow xy \ge 2\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow x \ge \frac{{2\left( {y - 1} \right)}}{y} \ge 0\,\,\left( {Do\,\,y \ge 1 \Leftrightarrow y - 1 \ge 0} \right)\).
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \({x^2} + 1 \ge 2x \Leftrightarrow {x^2} + 4 \ge 2x + 3\).
Vậy \(M = \frac{{{x^2} + 4}}{{{y^2} + 1}} = \left( {{x^2} + 4} \right).\frac{1}{{{y^2} + 1}} \ge \left( {2x + 3} \right).\frac{1}{{2x + 3}} = 1\).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(\min M = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
