Cho hình vuông \(ABCD,\) đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) tiếp xúc với

Câu hỏi số 342510:

Vận dụng

Cho hình vuông \(ABCD,\) đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) tiếp xúc với các cạnh \(AB,\,\,AD\) lần lượt tại các điểm \(E,\,\,F.\) Gọi giao điểm của \(CE\) và \(BF\) là \(G.\)

1) Chứng minh rằng năm điểm \(A,\,\,F,\,\,O,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.

2) Gọi giao điểm \(FB\) và đường tròn \(\left( O \right)\) là \(M\,\,\,\left( {M \ne F} \right).\) Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BG.\)

3) Chứng minh rằng trực tâm tam giác \(GAF\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi:342510

Phương pháp giải

1) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh các tứ giác \(AFOE,\,\,AEGF\) là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\)

2) Sử dụng tính chất: Tròng một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.

+) Sử dụng công thức lượng giác: \(\tan ABF = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{1}{2} = \tan EBG = \frac{{EG}}{{BG}}\) và chứng minh \(EG = GM.\)

Giải chi tiết

1) Chứng minh rằng năm điểm \(A,\,\,F,\,\,O,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.

Đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD \Rightarrow AC \cap BD = \left\{ O \right\}.\)

Lại có: \(\left( O \right) \cap AB = \left\{ E \right\},\,\,\,\left( O \right) \cap AD = \left\{ F \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB = \left\{ E \right\}\\OF \bot AD = \left\{ F \right\}\end{array} \right.\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn).

Xét tứ giác \(AEOF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAF = \angle AEO = \angle AFO = {90^0}\\AE = AF = \frac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow AEOF\) là hình vuông (dhnb).

\( \Rightarrow AEOF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\) (dhnb) (1)

Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta BCE\) ta có:

\(AB = BC\) (do \(ABCD\) là hình vuông)

\(\begin{array}{l}\angle BAF = \angle EBC = {90^0}\\BE = AF\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABF = \Delta BCF\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle ABF = \angle BCE\) (hai góc tương ứng)

Lại có: \(\angle BCE + \angle BEC = {90^0}\,\) (do \(\Delta EBC\) vuông tại\(B\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BEC + \angle ABF = {90^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle BEC + \angle EBG = {90^0}\,\\ \Rightarrow \angle EGB = {90^0}\,\,\,hay\,\,\,EC \bot BF = \left\{ G \right\}.\end{array}\)

Xét \(AEGF\) có: \(\angle EAF + \angle EGF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow AEGF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm \(A,\,\,E,\,\,\,G,\,\,O,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EF.\) (đpcm)

2) Gọi giao điểm \(FB\) và đường tròn \(\left( O \right)\) là \(M\,\,\,\left( {M \ne F} \right).\) Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BG.\)

Ta có: \(\angle EMF = \angle AEF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EF)

Mà \(AEOF\) là hình vuông (cmt) \( \Rightarrow \angle AEF = {45^0}\) (tính chất hình vuông)

\( \Rightarrow \angle EMF = {45^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle EMG = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta EMG\) là tam giác vuông cân tại \(G \Rightarrow EG = GM\) (tính chất tam giác cân).

Xét \(\Delta ABF\) ta có: \(\tan \angle ABF = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\)

Xét \(\Delta EBG\) ta có: \(\tan EBG = \frac{{EG}}{{BG}} \Rightarrow \frac{{EG}}{{BG}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EG = \frac{1}{2}BG\)

Mà \(EG = MG\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MG = \frac{1}{2}BG \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BG.\) (đpcm).

3) Chứng minh rằng trực tâm tam giác \(GAF\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right).\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.