Cho hình vuông \(ABCD,\) đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) tiếp xúc với
Cho hình vuông \(ABCD,\) đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD\) tiếp xúc với các cạnh \(AB,\,\,AD\) lần lượt tại các điểm \(E,\,\,F.\) Gọi giao điểm của \(CE\) và \(BF\) là \(G.\)
1) Chứng minh rằng năm điểm \(A,\,\,F,\,\,O,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi giao điểm \(FB\) và đường tròn \(\left( O \right)\) là \(M\,\,\,\left( {M \ne F} \right).\) Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BG.\)
3) Chứng minh rằng trực tâm tam giác \(GAF\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right).\)
Quảng cáo
1) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh các tứ giác \(AFOE,\,\,AEGF\) là các tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\)
2) Sử dụng tính chất: Tròng một đường tròn, góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung thì bằng nhau.
+) Sử dụng công thức lượng giác: \(\tan ABF = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{1}{2} = \tan EBG = \frac{{EG}}{{BG}}\) và chứng minh \(EG = GM.\)
3)
1) Chứng minh rằng năm điểm \(A,\,\,F,\,\,O,\,\,G,\,\,E\) cùng nằm trên một đường tròn.
Đường tròn \(\left( O \right)\) nội tiếp hình vuông \(ABCD \Rightarrow AC \cap BD = \left\{ O \right\}.\)
Lại có: \(\left( O \right) \cap AB = \left\{ E \right\},\,\,\,\left( O \right) \cap AD = \left\{ F \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OE \bot AB = \left\{ E \right\}\\OF \bot AD = \left\{ F \right\}\end{array} \right.\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn).
Xét tứ giác \(AEOF\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle EAF = \angle AEO = \angle AFO = {90^0}\\AE = AF = \frac{1}{2}AB\end{array} \right. \Rightarrow AEOF\) là hình vuông (dhnb).
\( \Rightarrow AEOF\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(EF.\) (dhnb) (1)
Xét \(\Delta ABF\) và \(\Delta BCE\) ta có:
\(AB = BC\) (do \(ABCD\) là hình vuông)
\(\begin{array}{l}\angle BAF = \angle EBC = {90^0}\\BE = AF\,\,\,\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABF = \Delta BCF\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle ABF = \angle BCE\) (hai góc tương ứng)
Lại có: \(\angle BCE + \angle BEC = {90^0}\,\) (do \(\Delta EBC\) vuông tại\(B\))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BEC + \angle ABF = {90^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle BEC + \angle EBG = {90^0}\,\\ \Rightarrow \angle EGB = {90^0}\,\,\,hay\,\,\,EC \bot BF = \left\{ G \right\}.\end{array}\)
Xét \(AEGF\) có: \(\angle EAF + \angle EGF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow AEGF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra các điểm \(A,\,\,E,\,\,\,G,\,\,O,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(EF.\) (đpcm)
2) Gọi giao điểm \(FB\) và đường tròn \(\left( O \right)\) là \(M\,\,\,\left( {M \ne F} \right).\) Chứng minh \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BG.\)
Ta có: \(\angle EMF = \angle AEF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung EF)
Mà \(AEOF\) là hình vuông (cmt) \( \Rightarrow \angle AEF = {45^0}\) (tính chất hình vuông)
\( \Rightarrow \angle EMF = {45^0}\,\,\,\,hay\,\,\,\angle EMG = {45^0}\)
\( \Rightarrow \Delta EMG\) là tam giác vuông cân tại \(G \Rightarrow EG = GM\) (tính chất tam giác cân).
Xét \(\Delta ABF\) ta có: \(\tan \angle ABF = \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\)
Xét \(\Delta EBG\) ta có: \(\tan EBG = \frac{{EG}}{{BG}} \Rightarrow \frac{{EG}}{{BG}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EG = \frac{1}{2}BG\)
Mà \(EG = MG\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow MG = \frac{1}{2}BG \Rightarrow M\) là trung điểm của \(BG.\) (đpcm).
3) Chứng minh rằng trực tâm tam giác \(GAF\) nằm trên đường tròn \(\left( O \right).\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
