Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1

Câu hỏi số 342512:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342512

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết để làm bài toán.

Giải chi tiết

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)

Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {xy + yz + zx + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)} }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} }}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{{y\sqrt {x + z} }}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {x + z} \right)} }}\\\frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\left( {y + x} \right)} }}\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế của 3 biểu thức trên ta được:

\(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} + y\sqrt {x + z} + z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) + \left( {zx} \right)} }}\)

Lại có: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{{xy + yz + zx}} = \frac{1}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{z + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {y^2}}} = \frac{{x + z}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\\frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của các biểu thức trên ta được: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\begin{array}{l}x\sqrt {y + z} \le x\sqrt {2yz} \\ + y\sqrt {z + x} + z\sqrt {x + y} \le \end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link