Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1

Câu hỏi số 342512:
Vận dụng cao

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:11+x2+11+y2+11+z2≥23(x1+x2+y1+y2+z1+z2)3. 

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:342512
Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết để làm bài toán.

Giải chi tiết

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xy+yz+zx=1. Chứng minh rằng:11+x2+11+y2+11+z2≥23(x1+x2+y1+y2+z1+z2)3.

 

Ta có: x1+x2=xxy+yz+zx+x2=xx(x+y)+z(x+y)=x(x+z)(x+y)=xy+z(x+z)(x+y)(y+z) 

Tương tự ta có:

{y1+y2=yx+z(y+z)(y+x)(x+z)z1+z2=zy+x(z+x)(z+y)(y+x).

Cộng vế với vế của 3 biểu thức trên ta được:

x1+x2+y1+y2+z1+z2=xy+z+yx+z+zy+x(x+y)(y+z)+(zx)

Lại có: 11+x2=1xy+yz+zx=1(x+z)(x+y)=z+y(x+z)(x+y)(y+z)

Tương tự ta có: {11+y2=x+z(x+z)(z+y)(x+y)11+z2=x+y(x+z)(z+y)(x+y)

Cộng vế với vế của các biểu thức trên ta được: 11+x2+11+y2+11+z2=2(x+y+z)(x+y)(y+z)(z+x)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: xy+z≤x2yz+yz+x+zx+y≤

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn
@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1