Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1

Câu hỏi số 342512:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:342512

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và giả thiết để làm bài toán.

Giải chi tiết

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)

Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {xy + yz + zx + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)} }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} }}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)

Tương tự ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{{y\sqrt {x + z} }}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {x + z} \right)} }}\\\frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\left( {y + x} \right)} }}\end{array} \right..\)

Cộng vế với vế của 3 biểu thức trên ta được:

\(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} + y\sqrt {x + z} + z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) + \left( {zx} \right)} }}\)

Lại có: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{{xy + yz + zx}} = \frac{1}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{z + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}\)

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {y^2}}} = \frac{{x + z}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\\frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của các biểu thức trên ta được: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\begin{array}{l}x\sqrt {y + z} \le x\sqrt {2yz} \\ + y\sqrt {z + x} + z\sqrt {x + y} \le \end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.