Cho hình bình hành \(ABCD\,\,\,\left( {BD < AC} \right).\) Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính

Câu hỏi số 342906:

Vận dụng

Cho hình bình hành \(ABCD\,\,\,\left( {BD < AC} \right).\) Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AC\) cắt các tia \(AB,\,\,AD\) lần lượt tại\(H,\,\,I\) khác \(A.\) Trên dây \(HI\) lấy điểm \(K\) sao cho \(\angle HCK = \angle ADO.\) Tiếp tuyến tại\(C\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt \(BD\) tại \(E\,\,\,(D\) nằm giữa \(B,\,\,E).\) Chứng minh rằng:

1) \(\Delta CHK \sim \Delta DAO\) và \(HK = \frac{{AO.KC}}{{OB}}.\)

2) \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HI.\)

3) \(EI.EH + 4O{B^2} < A{E^2}.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:342906

Phương pháp giải

1) Sử dụng định lý: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau để chứng minh các góc bằng nhau sau đó chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Giải chi tiết

1) \(\Delta CHK \sim \Delta DAO\) và \(HK = \frac{{AO.KC}}{{OB}}.\)

Xét \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle IAC\) và \(\angle IHC\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung \(IC\)

\( \Rightarrow \angle IAC = \angle IHC\) hay \(\angle DAO = \angle KHC.\)

Xét \(\Delta CHK\) và \(\Delta DAO\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle DAO = \angle KHC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle ADO = \angle KCH\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta DAO \sim \Delta CHK\,\,\,\left( {g - g} \right)\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \frac{{DA}}{{CH}} = \frac{{DO}}{{CK}} = \frac{{AO}}{{HK}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

\( \Rightarrow HK = \frac{{CK.AO}}{{DO}}.\)

Lại có \(OD = OB\) do \(ABCD\) là hình bình hành

\( \Rightarrow HK = \frac{{CK.AO}}{{OB}}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

2) \(K\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HI.\)

3) \(EI.EH + 4O{B^2} < A{E^2}.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.