1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a -

Câu hỏi số 343254:

Vận dụng

1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\) với \(a \ne 1,\,\,a \ne - 1.\)

2. Các số thực \(x,\,\,y,\,\,a\) thỏa mãn \(\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\).

Chứng minh đẳng thức \(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\).

A. \(1.\,\,P = - 1\)

B. \(1.\,\,P = - 1\)

C. \(1.\,\,P = 1\)

D. \(1.\,\,P = \frac{1}{{1 - a}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:343254

Phương pháp giải

1. Biến đổi từng biểu thức nhỏ rồi rút gọn biểu thức đã cho.

2. Đặt nhân tử chung, đưa VT về dạng tích.

+) Sử dụng phương pháp bình phương, lập phương hai vế một cách hợp lí.

Giải chi tiết

1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\) với \(a \ne 1,\,\,a \ne - 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}} = \frac{{\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}}.\frac{{{a^3} - 1}}{{{a^3} + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{\left( {{a^2} + 2a + 1 + 3{a^2} - 6a + 3} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} - 2a + 1 + 3{a^2} + 6a + 3} \right){{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{\left( {4{a^2} - 4a + 4} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {4{a^2} + 4a + 4} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{4\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{4\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{4a + 4}}{{4\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{2a}}{{a - 1}} = \frac{{4a + 4 - 8a}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{4 - 4a}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{4\left( {1 - a} \right)}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = - 1.\end{array}\)

Vậy \(P = - 1\) với mọi \(a \ne - 1;\,\,a \ne 1.\)

2. Các số thực \(x,\,\,y,\,\,a\) thỏa mãn \(\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\).

Chứng minh đẳng thức \(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^3} + \sqrt[3]{{{x^2}.{x^2}.{y^2}}}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3} + \sqrt[3]{{{y^2}.{y^2}.{x^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}}\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right) = a\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} } \right)^3} = a \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} = \sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = {\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.