1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a -

Câu hỏi số 343254:

Vận dụng

1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\) với \(a \ne 1,\,\,a \ne - 1.\)

2. Các số thực \(x,\,\,y,\,\,a\) thỏa mãn \(\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\).

Chứng minh đẳng thức \(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\).

A. \(1.\,\,P = - 1\)

B. \(1.\,\,P = - 1\)

C. \(1.\,\,P = 1\)

D. \(1.\,\,P = \frac{1}{{1 - a}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343254

Phương pháp giải

1. Biến đổi từng biểu thức nhỏ rồi rút gọn biểu thức đã cho.

2. Đặt nhân tử chung, đưa VT về dạng tích.

+) Sử dụng phương pháp bình phương, lập phương hai vế một cách hợp lí.

Giải chi tiết

1. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\) với \(a \ne 1,\,\,a \ne - 1.\)

\(\begin{array}{l}P = \frac{{{{\left( {\frac{{a + 1}}{{a - 1}}} \right)}^2} + 3}}{{{{\left( {\frac{{a - 1}}{{a + 1}}} \right)}^2} + 3}}:\frac{{{a^3} + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}} = \frac{{\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + 3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}}.\frac{{{a^3} - 1}}{{{a^3} + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{\left( {{a^2} + 2a + 1 + 3{a^2} - 6a + 3} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {{a^2} - 2a + 1 + 3{a^2} + 6a + 3} \right){{\left( {a - 1} \right)}^2}}}.\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{\left( {4{a^2} - 4a + 4} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {4{a^2} + 4a + 4} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{4\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}{{4\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}.\frac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}} - \frac{{2a}}{{a - 1}}\\ = \frac{{4a + 4}}{{4\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{2a}}{{a - 1}} = \frac{{4a + 4 - 8a}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{4 - 4a}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = \frac{{4\left( {1 - a} \right)}}{{4\left( {a - 1} \right)}} = - 1.\end{array}\)

Vậy \(P = - 1\) với mọi \(a \ne - 1;\,\,a \ne 1.\)

2. Các số thực \(x,\,\,y,\,\,a\) thỏa mãn \(\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\).

Chứng minh đẳng thức \(\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + \sqrt[3]{{{x^4}{y^2}}}} + \sqrt {{y^2} + \sqrt[3]{{{y^4}{x^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^3} + \sqrt[3]{{{x^2}.{x^2}.{y^2}}}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3} + \sqrt[3]{{{y^2}.{y^2}.{x^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^3} + {{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} + \sqrt {{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}\left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}}\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} = a\\ \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \left( {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} \right) = a\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} } \right)^3} = a \Leftrightarrow \sqrt {\sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}}} = \sqrt[3]{a}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} = {\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^2} = \sqrt[3]{{{a^2}}}\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link