Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + ax + b;\,\,Q\left( x \right) = {x^2} + cx + d\) với

Câu hỏi số 343256:

Vận dụng

Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + ax + b;\,\,Q\left( x \right) = {x^2} + cx + d\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực.

1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).

2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).

A. \(1.\,\,a = 1;\,\,b = 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = \frac{1}{2}\)

B. \(1.\,\,a = - 1;\,\,b = 2\) hoặc \(a = \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

C. \(1.\,\,a = - 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

D. \(1.\,\,a = 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343256

Phương pháp giải

1. +) Thay \(x = 1;\,\,x = a\) vào phương trình \(P\left( x \right) = 0\), ta được hệ phương trình hai ẩn \(a,\,\,b\).

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm \(a,\,\,b\) và kết luận.

2. +) Sử dụng định lí Vi-ét.

+) Nhóm các hạng tử phù hợp để áp dụng được định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).

Ta có : \(P\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + ax + b = 0\).

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta = {a^2} - 4b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b\).

Do \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + a + b = 0\\{a^2} + {a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 0\\2{a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{a^2} + a + 1 = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 1} \right) = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) thì \(a = 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\).

2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).

Phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) nên áp dụng định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = b\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = - c\\{x_3}{x_4} = d\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow x_3^2 + a{x_3} + b + x_4^2 + a{x_4} + b = x_1^2 + c{x_1} + d + x_2^2 + c{x_2} + d\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 2{x_3}{x_4} + a\left( {{x_3} + {x_4}} \right) + 2b = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + c\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 2d - ac + 2b = {a^2} - 2b - ac + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 4d = {a^2} - 4b\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 4{x_3}{x_4} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} - {x_4}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_4} - {x_3}} \right| = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link