Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + ax + b;\,\,Q\left( x \right) = {x^2} + cx + d\) với

Câu hỏi số 343256:

Vận dụng

Cho đa thức \(P\left( x \right) = {x^2} + ax + b;\,\,Q\left( x \right) = {x^2} + cx + d\) với \(a,\,\,b,\,\,c,\,\,d\) là các số thực.

1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).

2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).

A. \(1.\,\,a = 1;\,\,b = 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = \frac{1}{2}\)

B. \(1.\,\,a = - 1;\,\,b = 2\) hoặc \(a = \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

C. \(1.\,\,a = - 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

D. \(1.\,\,a = 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:343256

Phương pháp giải

1. +) Thay \(x = 1;\,\,x = a\) vào phương trình \(P\left( x \right) = 0\), ta được hệ phương trình hai ẩn \(a,\,\,b\).

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm \(a,\,\,b\) và kết luận.

2. +) Sử dụng định lí Vi-ét.

+) Nhóm các hạng tử phù hợp để áp dụng được định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

1. Tìm \(a\) và \(b\) để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\).

Ta có : \(P\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + ax + b = 0\).

Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(\Delta = {a^2} - 4b \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} \ge 4b\).

Do \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + a + b = 0\\{a^2} + {a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 0\\2{a^2} + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{a^2} + a + 1 = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right)\left( {2a + 1} \right) = 0\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\\b = - 2{a^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\b = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy để \(1\) và \(a\) là nghiệm của phương trình \(P\left( x \right) = 0\) thì \(a = 1;\,\,b = - 2\) hoặc \(a = - \frac{1}{2};\,\,b = - \frac{1}{2}\).

2. Giả sử phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) sao cho \(P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\). Chứng minh \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \left| {{x_4} - {x_3}} \right|\).

Phương trình \(P\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) và phương trình \(Q\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_3},\,\,{x_4}\) nên áp dụng định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - a\\{x_1}{x_2} = b\end{array} \right.,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = - c\\{x_3}{x_4} = d\end{array} \right.\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( {{x_3}} \right) + P\left( {{x_4}} \right) = Q\left( {{x_1}} \right) + Q\left( {{x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow x_3^2 + a{x_3} + b + x_4^2 + a{x_4} + b = x_1^2 + c{x_1} + d + x_2^2 + c{x_2} + d\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 2{x_3}{x_4} + a\left( {{x_3} + {x_4}} \right) + 2b = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + c\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 2d - ac + 2b = {a^2} - 2b - ac + 2d\\ \Leftrightarrow {c^2} - 4d = {a^2} - 4b\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^2} - 4{x_3}{x_4} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_3} - {x_4}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_4} - {x_3}} \right| = \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.