Cho đường tròn \(\left( O \right)\) bán kính \(R\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Gọi

Câu hỏi số 343257:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) bán kính \(R\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Gọi \(A{A_1},\,\,B{B_1},\,\,C{C_1}\) là các đường cao của tam giác \(ABC\). Đường thẳng \({A_1}{C_1}\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A'\) và \(C'\) (\({A_1}\) nằm giữa \(A'\) và \({C_1}\)). Các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(A'\) và \(C'\) cắt nhau tại \(B'\).

1. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(H{C_1}.{A_1}C = {A_1}{C_1}.H{B_1}\).

2. Chứng minh ba điểm \(B,\,\,B',\,\,O\) thẳng hàng.

3. Khi tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Hãy tính \(A'C'\) theo \(R\).

Xem lời giải

Câu hỏi:343257

Phương pháp giải

1. Chứng minh tam giác \(H{B_1}{C_1}\) và tam giác \({A_1}C{C_1}\) đồng dạng.

2. Chứng minh \(B,\,\,B',\,\,O\) cùng thuộc trung trực của \(A'C'\).

3. Áp dụng định lí Pytago để tính độ dài đoạn thẳng.

Giải chi tiết

1. Gọi \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\). Chứng minh \(H{C_1}.{A_1}C = {A_1}{C_1}.H{B_1}\).

Xét tứ giác \(A{B_1}H{C_1}\) có \(\angle A{B_1}H + \angle A{C_1}H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(A{B_1}H{C_1}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow \angle H{B_1}{C_1} = \angle HA{C_1} = \angle {A_1}AB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(H{C_1}\)).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {A_1}AB + \angle ABC = {90^0}\\\angle BC{C_1} + \angle ABC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle {A_1}AB = \angle BC{C_1}\).

\( \Rightarrow \angle H{B_1}{C_1} = \angle BC{C_1} = \angle {A_1}C{C_1}\).

Xét tứ giác \(B{A_1}H{C_1}\) có \(\angle B{A_1}H + \angle B{C_1}H = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(B{A_1}H{C_1}\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow \angle H{C_1}{A_1} = \angle HB{A_1} = \angle {B_1}BC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \({A_1}H\)).

Ta có: \(\angle H{C_1}{B_1} = \angle HA{B_1} = \angle {A_1}AC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(H{B_1}\))

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {B_1}BC + \angle ACB = {90^0}\\\angle {A_1}AC + \angle ACB = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle {B_1}BC = \angle {A_1}AC\) (cùng phụ với \(\angle BCA\))

Từ đó suy ra \(\angle H{C_1}{A_1} = \angle H{C_1}{B_1} \Rightarrow \angle H{C_1}B = \angle {A_1}{C_1}C\).

Xét tam giác \(H{B_1}{C_1}\) và tam giác \({A_1}C{C_1}\) có:

\(\begin{array}{l}\angle H{B_1}{C_1} = \angle {A_1}C{C_1}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle H{C_1}B = \angle {A_1}{C_1}C\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta H{B_1}{C_1} \sim \Delta {A_1}C{C_1}\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{H{C_1}}}{{{A_1}{C_1}}} = \frac{{H{B_1}}}{{{A_1}C}} \Leftrightarrow H{C_1}.{A_1}C = {A_1}{C_1}.H{B_1}\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

2. Chứng minh ba điểm \(B,\,\,B',\,\,O\) thẳng hàng.

Ta có:

\(B'A' = B'C'\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow B'\) thuộc trung trực của \(A'C'\).

\(OA' = OC'\) \(\left( { = R} \right)\) \( \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(A'C'\).

Do đó \(OB'\) là trung trực của \(A'C'\) (1)

Ta có tứ giác \(A{C_1}{A_1}C\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có có hai đỉnh \({C_1},\,\,{A_1}\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AC\) dưới góc \({90^0}\)).

\( \Rightarrow \angle C'{A_1}C = {180^0} - \angle {C_1}AC = {180^0} - \angle BAC.\)

Lại có : \(ABA'C\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BA'C = {180^0} - \angle BAC\\ \Rightarrow \angle C'{A_1}C = \angle B'AC = {180^0} - \angle BAC\end{array}\)

Lại có :\(\angle B{A_1}A' = \angle C'{A_1}C\) (hai góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \angle C'{A_1}C = \angle B'AC = \angle C'{A_1}C.\)

Mặt khác ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\angle A'CB = {180^0} - \angle A'BC - \angle BA'C\\\angle BA'{A_1} = {180^0} - \angle A'BC - \angle B{A_1}A'\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle BCA' = \angle BA'C'.\)

Mà \(\angle BC'A' = \angle BCA'\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(A'B\))

\( \Rightarrow \angle BC'A' = \angle BA'C' \Rightarrow \Delta BA'C'\) là tam giác cân tại \(B.\)

\( \Rightarrow BC' = BA'\) (tính chất tam giác cân)

Lại có \(OC' = OA' = R\)

\( \Rightarrow OB\) là đường trung trực của \(A'C'.\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow B \in OB'\) hay \(B,\,\,B',\,\,O\) thẳng hàng.

3. Khi tam giác \(ABC\) là tam giác đều. Hãy tính \(A'C'\) theo \(R\).

Khi tam giác \(ABC\) đều \( \Rightarrow {A_1}\) là trung điểm của \(BC\) ; \({B_1}\) là trung điểm của \(AC\); \({C_1}\) là trung điểm của \(AB\) và \(H \equiv O\).

\( \Rightarrow {A_1}{C_1}\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow {A_1}{C_1}//AC \Rightarrow A'C'//AC\).

Mà \(OB' \bot A'C'\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow OB' \bot AC\).

Lại có \(B{B_1} \bot AC\) (gt) \( \Rightarrow B{B_1} \equiv OB' \Rightarrow B';\,\,B;\,\,I;\,\,O;\,\,{B_1}\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(AB{B_1}\) có:

\({C_1}\) là trung điểm của \(AB\) ;

\({C_1}I//A{B_1}\,\,\left( {{A_1}{C_1}//AC} \right)\) ;

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(B{B_1}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) \( \Rightarrow BI = \frac{1}{2}B{B_1}\).

Mà \(BH = \frac{2}{3}B{B_1}\) (H là trực tâm đồng thời là trọng tâm tam giác \(ABC\))

\( \Rightarrow BI = \frac{3}{4}BH \Rightarrow IH = \frac{1}{4}BH = \frac{R}{4}\).

Xét tam giác vuông \(HIC'\) có \(IC' = \sqrt {HC{'^2} - H{I^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}}}{{16}}} = \frac{{R\sqrt {15} }}{4}\).

Do \(IH \bot A'C' \Rightarrow I\) là trung điểm của \(A'C'\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow A'C' = 2IC' = 2.\frac{{R\sqrt {15} }}{4} = \frac{{R\sqrt {15} }}{2}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.