Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn (O)(O) bán kính RR ngoại tiếp tam giác ABCABC có ba góc nhọn. Gọi
Cho đường tròn (O)(O) bán kính RR ngoại tiếp tam giác ABCABC có ba góc nhọn. Gọi AA1,BB1,CC1AA1,BB1,CC1 là các đường cao của tam giác ABCABC. Đường thẳng A1C1A1C1 cắt đường tròn (O)(O) tại A′ và C′ (A1 nằm giữa A′ và C1). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A′ và C′ cắt nhau tại B′.
1. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh HC1.A1C=A1C1.HB1.
2. Chứng minh ba điểm B,B′,O thẳng hàng.
3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính A′C′ theo R.
Quảng cáo
1. Chứng minh tam giác HB1C1 và tam giác A1CC1 đồng dạng.
2. Chứng minh B,B′,O cùng thuộc trung trực của A′C′.
3. Áp dụng định lí Pytago để tính độ dài đoạn thẳng.
1. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh HC1.A1C=A1C1.HB1.
Xét tứ giác AB1HC1 có ∠AB1H+∠AC1H=900+900=1800⇒ Tứ giác AB1HC1 là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
⇒∠HB1C1=∠HAC1=∠A1AB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HC1).
Ta có: {∠A1AB+∠ABC=900∠BCC1+∠ABC=900⇒∠A1AB=∠BCC1.
⇒∠HB1C1=∠BCC1=∠A1CC1.
Xét tứ giác BA1HC1 có ∠BA1H+∠BC1H=900+900=1800⇒ Tứ giác BA1HC1 là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
⇒∠HC1A1=∠HBA1=∠B1BC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A1H).
Ta có: ∠HC1B1=∠HAB1=∠A1AC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HB1)
Mà {∠B1BC+∠ACB=900∠A1AC+∠ACB=900⇒∠B1BC=∠A1AC (cùng phụ với ∠BCA)
Từ đó suy ra ∠HC1A1=∠HC1B1⇒∠HC1B=∠A1C1C.
Xét tam giác HB1C1 và tam giác A1CC1 có:
∠HB1C1=∠A1CC1(cmt)∠HC1B=∠A1C1C(cmt)⇒ΔHB1C1∼ΔA1CC1(g.g)⇒HC1A1C1=HB1A1C⇔HC1.A1C=A1C1.HB1(dpcm).
2. Chứng minh ba điểm B,B′,O thẳng hàng.
Ta có:
B′A′=B′C′ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒B′ thuộc trung trực của A′C′.
OA′=OC′ (=R) ⇒O thuộc trung trực của A′C′.
Do đó OB′ là trung trực của A′C′ (1)
Ta có tứ giác AC1A1C là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có có hai đỉnh C1,A1 kề nhau cùng nhìn cạnh AC dưới góc 900).
⇒∠C′A1C=1800−∠C1AC=1800−∠BAC.
Lại có : ABA′C nội tiếp đường tròn (O).
⇒∠BA′C=1800−∠BAC⇒∠C′A1C=∠B′AC=1800−∠BAC
Lại có :∠BA1A′=∠C′A1C (hai góc đối đỉnh)
⇒∠C′A1C=∠B′AC=∠C′A1C.
Mặt khác ta có : {∠A′CB=1800−∠A′BC−∠BA′C∠BA′A1=1800−∠A′BC−∠BA1A′
⇒∠BCA′=∠BA′C′.
Mà ∠BC′A′=∠BCA′ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung A′B)
⇒∠BC′A′=∠BA′C′⇒ΔBA′C′ là tam giác cân tại B.
⇒BC′=BA′ (tính chất tam giác cân)
Lại có OC′=OA′=R
⇒OB là đường trung trực của A′C′. (2)
Từ (1) và (2) ⇒B∈OB′ hay B,B′,O thẳng hàng.
3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính A′C′ theo R.
Khi tam giác ABC đều ⇒A1 là trung điểm của BC ; B1 là trung điểm của AC; C1 là trung điểm của AB và H≡O.
⇒A1C1 là đường trung bình của tam giác ABC ⇒A1C1//AC⇒A′C′//AC.
Mà OB′⊥A′C′(cmt)⇒OB′⊥AC.
Lại có BB1⊥AC (gt) ⇒BB1≡OB′⇒B′;B;I;O;B1 thẳng hàng.
Xét tam giác ABB1 có:
C1 là trung điểm của AB ;
C1I//AB1(A1C1//AC) ;
⇒I là trung điểm của BB1 (tính chất đường trung bình của tam giác) ⇒BI=12BB1.
Mà BH=23BB1 (H là trực tâm đồng thời là trọng tâm tam giác ABC)
⇒BI=34BH⇒IH=14BH=R4.
Xét tam giác vuông HIC′ có IC′=√HC′2−HI2=√R2−R216=R√154.
Do IH⊥A′C′⇒I là trung điểm của A′C′ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
⇒A′C′=2IC′=2.R√154=R√152.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
