Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = xy\left( {x

Câu hỏi số 343258:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = xy\left( {x - 2} \right)\left( {y + 6} \right) + 13{x^2} + 4{y^2} - 26x + 24y + 46.\)

A. \(\min P = 5\)

B. \(\min P = 6\)

C. \(\min P = 9\)

D. \(\min P = 10\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343258

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức đã cho và đặt nhân tử chung của các biểu thức: \({x^2} - 2x\) và \({y^2} + 6y\) sau đó đặt ẩn phụ và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Giải chi tiết

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(P = xy\left( {x - 2} \right)\left( {y + 6} \right) + 13{x^2} + 4{y^2} - 26x + 24y + 46.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = xy\left( {x - 2} \right)\left( {y + 6} \right) + 13{x^2} + 4{y^2} - 26x + 24y + 46\\ = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{y^2} + 6y} \right) + \left( {13{x^2} - 26x} \right) + \left( {4{y^2} + 24y} \right) + 46\\ = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {{y^2} + 6y} \right) + 13\left( {{x^2} - 2x} \right) + 4\left( {{y^2} + 6y} \right) + 46\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = a\,\,\,\left( {a \ge 0} \right)\\{y^2} + 6y + 9 = b\,\,\,\,\left( {b \ge 0} \right)\end{array} \right..\) Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {a - 1} \right)\left( {b - 9} \right) + 13\left( {a - 1} \right) + 4\left( {b - 9} \right) + 46\\ = ab - 9a - b + 9 + 13a - 13 + 4b - 36 + 46\\ = ab + 4a + 3b + 6 \ge \,\,6\,\,\,\forall a,\,\,b \ge 0.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = 0\\4a = 0\\3b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 = 0\\{y^2} + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right..\)

Vậy \(Min\,\,P = 6\) khi \(x = 1\) và \(y = - 3.\)

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link