Cho các số thực \(a,\,\,b \ne 0\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1.\) 1. Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 343492:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b \ne 0\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1.\)

1. Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^4}{b^4}}} + \frac{4}{{ab}}.\)

2. Chứng minh rằng: \({\left( {a + b - 2} \right)^3} - {\left( {a - 1} \right)^3} - {\left( {b - 1} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right) + 6 = 0.\)

A. \(1.\,\,A = 1\)

B. \(1.\,\,A = 0\)

C. \(1.\,\,A = - 1\)

D. \(1.\,\,A = 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343492

Phương pháp giải

1. Biến đổi biểu thức bài cho về biểu thức có chứa biểu thức theo bài cho để thế vào và tính giá trị biểu thức.

2. Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\) và giả thiết để biến đổi biểu thức VT và chứng minh VT = 0.

Giải chi tiết

Cho các số thực \(a,\,\,b \ne 0\) thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1.\)

1. Tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^4}{b^4}}} + \frac{4}{{ab}}.\)

\(\begin{array}{l}A = \frac{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^4}{b^4}}} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{{{b^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}}\\ = {\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)^2} + \frac{4}{{ab}}\\ = \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{4}{{ab}} = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1.\end{array}\)

2. Chứng minh rằng: \({\left( {a + b - 2} \right)^3} - {\left( {a - 1} \right)^3} - {\left( {b - 1} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right) + 6 = 0.\)

Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 \Leftrightarrow a + b = ab\)

\( \Rightarrow ab - a - b = 0 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 1 \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = 1.\)

Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right)} \right]^3} = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + 3\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left[ {\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 1} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b - 2} \right)^3} = {\left( {a - 1} \right)^3} + {\left( {b - 1} \right)^3} + 3.1\left( {a + b - 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b - 2} \right)^3} - {\left( {a - 1} \right)^3} - {\left( {b - 1} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right) + 6 = 0\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link