Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 7;7} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 3m{x^2}

Câu hỏi số 344429:

Vận dụng

Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 7;7} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 3m{x^2} - 4} \right|\) có đúng ba điểm cực trị \(A,B,C\) và diện tích tam giác \(ABC\) lớn hơn 4.

A. \(4\).

B. \(2\).

C. \(1\)

D. \(3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344429

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để hàm số có 3 điểm cực trị.

+) Xác định các điểm cực trị của hàm số và tính diện tích tam giác ABC.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 3m{x^2} - 4,\,\,\,\,f'\left( x \right) = 4{x^3} - 6mx,\,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \dfrac{{3m}}{2}\end{array} \right.\)

+) TH1: \(m \le 0\):

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có duy nhất 1 điểm cực trị là \(A\left( {0; - 4} \right)\) (cực tiểu)

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị là \(A\left( {0; - 4} \right)\), \(B\left( {{x_1};0} \right),\,\,C\left( {{x_2};0} \right),\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) (B, C chính là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành)

Giải phương trình: \({x^4} - 3m{x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{3m + \sqrt {9{m^2} + 16} }}{2} \Leftrightarrow {x_2} - {x_1} = 3m + \sqrt {9{m^2} + 16} \)

Diện tích tam giác ABC là: \(\dfrac{1}{2}.4.\left( {3m + \sqrt {9{m^2} + 16} } \right) > 4 \Leftrightarrow 3m + \sqrt {9{m^2} + 16} > 2 \Leftrightarrow \sqrt {9{m^2} + 16} > 2 - 3m\)\( \Leftrightarrow 9{m^2} + 16 > {\left( {2 - 3m} \right)^2}\) (do \(m \le 0\)) \( \Leftrightarrow 9{m^2} + 16 > 4 - 12m + 9{m^2} \Leftrightarrow m > - 1\,\, \Rightarrow - 1 < m \le 0\)

+) TH2: \(m > 0\):

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị là \(A\left( {0; - 4} \right)\) (cực tiểu), \(B\left( { - \sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} ;{y_0}} \right),\,\,C\left( {\sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} ;{y_0}} \right)\)

Với \({y_0} = f\left( {\sqrt {\dfrac{{3m}}{2}} } \right) = \dfrac{{9{m^2}}}{4} - 3m.\dfrac{{3m}}{2} - 4 = - \dfrac{{9{m^2}}}{4} - 4 < 0,\forall m\)

Khi đó, đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 5 điểm cực trị \( \Rightarrow \) Loại.

Vậy, \( - 1 < m \le 0\).

Mà \(m \in \left( { - 7;7} \right),\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ 0 \right\}\): 1 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.