Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in

Câu hỏi số 344433:

Vận dụng

Cho \(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx} = a + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Tính tổng \(a + b + c\).

A. \(1\).

B. \(\dfrac{5}{2}\).

C. \(\dfrac{1}{3}\).

D. \( - \dfrac{1}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344433

Phương pháp giải

Khi tính tích phân \(\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \), ta đặt \(x + \sqrt {{x^2} + 15} = t\).

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_0^1 {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 15} } \right)dx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} dx} \)

\({I_1} = \int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}{I_2} = \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} dx} = \left. {x\sqrt {{x^2} + 15} } \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {x.\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \\\,\,\,\,\,\, = 4 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} = 4 - \int\limits_0^1 {\sqrt {{x^2} + 15} dx} + \int\limits_0^1 {\dfrac{{15}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \\ \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} \end{array}\)

Đặt \(x + \sqrt {{x^2} + 15} = t \Rightarrow \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}} \right)dx = dt \Leftrightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 15} }} = \dfrac{{dt}}{t}\).

Khi đó: \(\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 15} }}dx} = \int\limits_{\sqrt {15} }^5 {\dfrac{{dt}}{t}} = \left. {\ln \left| t \right|} \right|_{\sqrt {15} }^5 = \ln 5 - \ln \sqrt {15} = \dfrac{1}{2}\ln 5 - \dfrac{1}{2}\ln 3\)

\( \Rightarrow 2{I_2} = 4 + 15.\left( {\dfrac{1}{2}\ln 5 - \dfrac{1}{2}\ln 3} \right) \Leftrightarrow {I_2} = 2 + \dfrac{{15}}{4}\ln 5 - \dfrac{{15}}{4}\ln 3\)

\(I = {I_1} + {I_2} = \dfrac{1}{2} + 2 + \dfrac{{15}}{4}\ln 5 - \dfrac{{15}}{4}\ln 3 = \dfrac{5}{2} + \dfrac{{15}}{4}\ln 5 - \dfrac{{15}}{4}\ln 3 \Rightarrow a + b + c = \dfrac{5}{2} + \dfrac{{15}}{4} - \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{5}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.