Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt

Câu hỏi số 345634:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt đáy nằm trong hình vuông \(ABCD\). Biết rằng \(SA\) và \(SC\) tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa \(SB\) và đáy bằng \({45^0}\), góc giữa \(SD\) và đáy bằng \(\alpha \) với \(\tan \alpha = \dfrac{1}{3}\). Tính thể tích khi chóp đã cho.

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345634

Phương pháp giải

- Tìm vị trí điểm \(H\) trên mặt đáy, sử dụng các mối quan hệ góc bài cho.

- Tính \(SH\) và suy ra thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) với \(B\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Giải chi tiết

Theo giả thiết, \(\widehat {SAH} = \widehat {SCH},\widehat {SBH} = {45^0},\tan \widehat {SDH} = \dfrac{1}{3}\).

Tam giác \(\Delta SAH = \Delta SCH \Rightarrow HA = HC\) \( \Rightarrow H\) nằm trên trung trực của \(AC\).

Mà \(BD\) là đường trung trực của \(AC\) nên \(H \in BD\).

Lại có \(\widehat {SBH} = {45^0} \Rightarrow HB = HS,\tan \widehat {SDH} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{SH}}{{HD}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HD}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{BD}} = \dfrac{1}{4}\).

Mà \(BD = a\sqrt 2 \Rightarrow HB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.