Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 4,BC = AD = 5,AC = BD = 6\). \(M\) là điểm thay đổi trong tâm giác
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 4,BC = AD = 5,AC = BD = 6\). \(M\) là điểm thay đổi trong tâm giác \(ABC\). Các đường thẳng qua \(M\) song song với \(AD,BD,CD\) tương ứng cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\left( {ACD} \right),\left( {ABD} \right)\) tại \(A',B',C'\). Giá trị lớn nhất của \(MA'.MB'.MC'\) là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Kéo dài \(AM,BM,CM\) cắt các đoạn thẳng \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(H,G,F\).
- Dựng các đường thẳng qua \(M\) và song song với \(AD,BD,CD\) suy ra các điểm \(A',B',C'\).
- Sử dụng định lý Ta – let tính \(MA',MB',MC'\).- Sử dụng hệ thức \(\dfrac{{{A_1}M}}{{AM}} + \dfrac{{{B_1}M}}{{BM}} + \dfrac{{{C_1}M}}{{CM}} = 1\) đánh giá GTLN của tích \(MA'.MB'.MC'\).
ở đó, \(M\) là một điểm nằm trong tam giác \(ABC\) và \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là các giao điểm của \(AM,BM,CM\) với các cạnh \(BC,CA,AB\).
Trong tam giác \(ABC\), kéo dài \(AM,BM,CM\) cắt các đoạn thẳng \(BC,CA,AB\) lần lượt tại \(H,G,F\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {HAD} \right)\), kẻ \(MA'//AD\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {GBD} \right)\), kẻ \(MB'//BD\).
+) Trong mặt phẳng \(\left( {FCD} \right)\), kẻ \(MC'//CD\).
Từ đó ta được các điểm \(A',B',C'\) cần tìm.
Theo định lý Ta – let ta có: \(\dfrac{{MA'}}{{AD}} = \dfrac{{HM}}{{HA}} \Rightarrow MA' = 5.\dfrac{{MH}}{{AH}}\)
\(\dfrac{{MB'}}{{BD}} = \dfrac{{GM}}{{GB}} \Rightarrow MB' = 6.\dfrac{{MG}}{{BG}}\); \(\dfrac{{MC'}}{{CD}} = \dfrac{{FM}}{{FC}} \Rightarrow MC' = 4.\dfrac{{MF}}{{CF}}\)
\( \Rightarrow MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}\).
Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(1 = \dfrac{{MH}}{{AH}} + \dfrac{{MG}}{{BG}} + \dfrac{{MF}}{{CF}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le \dfrac{1}{{27}}\)
Do đó \(MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le 120.\dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{40}}{9}\)\( \Rightarrow {\left( {MA'.MB'.MC'} \right)_{\max }} = \dfrac{{40}}{9}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
