Biết rằng tập hợp các giá trị của \(m\) để phương trình \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{x^2}}} -

Câu hỏi số 345673:

Vận dụng

Biết rằng tập hợp các giá trị của \(m\) để phương trình \({\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{{x^2}}} - \left( {m + 1} \right).{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} - 2m = 0\) có nghiệm, là \(\left[ { - a + 2\sqrt b ;0} \right]\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Tính \(b - a\).

A. \(1\)

B. \( - 11\)

C. \( - 1\)

D. \(11\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345673

Phương pháp giải

- Đặt \({\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} = t\) và tìm điều kiện của \(t\), đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(t\) có nghiệm thỏa mãn điều kiện ở trên và kết luận.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \Rightarrow 0 < t \le 1\) thì phương trình trở thành \({t^2} - \left( {m + 1} \right)t - 2m = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t = mt + 2m \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}} = m\)

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng \(y = m\) phải cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}}\) tại ít nhất một điểm \(t \in \left( {0;1} \right]\).

Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - t}}{{t + 2}}\) trên \(\left( {0;1} \right]\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} + 4t - 2}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2 + \sqrt 6 \in \left( {0;1} \right]\\t = - 2 - \sqrt 6 \notin \left( {0;1} \right]\end{array} \right.\)

Ta có : \(f\left( 0 \right) = 0,f\left( 1 \right) = 0,f\left( { - 2 + \sqrt 6 } \right) = - 5 + 2\sqrt 6 \) \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( t \right) = 0,\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right]} f\left( t \right) = - 5 + 2\sqrt 6 \).

Vậy phương trình có nghiệm nếu \( - 5 + 2\sqrt 6 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 5 + 2\sqrt 6 ;0} \right]\) hay \(a = 5,b = 6 \Rightarrow b - a = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.