Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1}

Câu hỏi số 345674:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right].\) Đặt \(g\left( x \right) = 1 + 2\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} .\) Biết \(g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3}\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right]\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} \) có gá trị lớn nhất bằng

A. \(4\)

B. \(\dfrac{5}{3}\)

C. \(5\)

D. \(\dfrac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:345674

Phương pháp giải

+ Biến đổi giả thiết để có \(f\left( x \right) = \dfrac{{g'\left( x \right)}}{2}\)

+ Thay vào điều kiện còn lại rồi lấy tích phân hai vế, sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân để tính tích phân. Từ đó đánh giá để tìm giá trị lớn nhất của tích phân cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có \(g\left( x \right) = 1 + 2\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) - 1 = 2\int\limits_0^x {f\left( t \right)dt} \\g\left( 0 \right) = 1 + \int\limits_0^0 {f\left( t \right)dt} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{g'\left( x \right)}}{2}\\g\left( 0 \right) = 1\end{array} \right.\)

Mà \(g\left( x \right) \ge {\left[ {f\left( x \right)} \right]^3} \Leftrightarrow g\left( x \right) \ge {\left[ {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{2}} \right]^3} \Leftrightarrow \sqrt[3]{{g\left( x \right)}} \ge \dfrac{{g'\left( x \right)}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}} \le 2\)

Với \(t \in \left[ {0;1} \right]\), Lấy tích phân hai vế ta được

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^t {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{\sqrt[3]{{g\left( x \right)}}}}} dx \le \int\limits_0^t {2dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^t {{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^{\dfrac{{ - 1}}{3}}}} d\left( {g\left( x \right)} \right) \le 2t\\ \Leftrightarrow 2t \ge \dfrac{3}{2}\left. {{{\left[ {g\left( x \right)} \right]}^{\dfrac{2}{3}}}} \right|_0^t \Leftrightarrow \dfrac{4}{3}t \ge \sqrt[3]{{{g^2}\left( t \right)}} - \sqrt[3]{{{g^2}\left( 0 \right)}}\end{array}\)

mà \(g\left( 0 \right) = 1\) nên \(\sqrt[3]{{{g^2}\left( t \right)}} \le \dfrac{4}{3}t + 1 \Rightarrow \sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}} \le \dfrac{4}{3}x + 1\)

Từ đó ta có \(\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}}} \,dx \le \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{4}{3}x + 1} \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}}} \,dx \le \left. {\left( {\dfrac{2}{3}{x^2} + x} \right)} \right|_0^1 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{{g^2}\left( x \right)}}} \,dx \le \dfrac{5}{3}\)

Hay giá trị lớn nhất cần tìm là \(\dfrac{5}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.