Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA = x\), các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng \(a\). Để thể
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA = x\), các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng \(a\). Để thể tích khối chóp lớn nhất thì giá trị của \(x\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng công thức \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.BC.d\left( {SA;BC} \right).\sin \alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Do tam giác \(SBC\) và \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SK \bot BC\\AK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAK} \right)\) và \(SK = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\( \Rightarrow \Delta SAK\) cân tại \(K\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(SA \Rightarrow KH \bot SA\).
\( \Rightarrow KH\) là đoạn vuông góc chung của \(SA;\,\,BC\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) ta có:
\({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.BC.d\left( {SA;BC} \right).\sin \alpha = \dfrac{1}{6}SA.BC.HK.\sin \alpha \).
Ta có \(HK = \sqrt {S{K^2} - S{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}} = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}x.a.\dfrac{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{2}.\sin \alpha \le \dfrac{{x.a\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }}{{12}}\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = x\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \,\,\left( {0 < x < a\sqrt 3 } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} + x\dfrac{{ - x}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = \dfrac{{3{a^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {3{a^2} - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
\( \Rightarrow {V_{S.ABC\,\,\max }} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
