Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4cm,\,\,AC = 3cm\). Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh

Câu hỏi số 351632:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 4cm,\,\,AC = 3cm\). Lấy điểm \(D\) thuộc cạnh \(AB\,\,\left( {AD < DB} \right)\). Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BD\) cắt \(CB\) tại \(E\), kéo dài \(CD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\).

a) Chứng minh rằng \(ACED\) là tứ giác nội tiếp.

b) Biết \(BF = 3cm\). Tính \(BC\) và diện tích tam giác \(BFC\).

c) Kéo dài \(AF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(G\). Chứng minh rằng \(BA\) là tia phân giác của góc \(CBG\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351632

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(ACED\) có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) tính \(BC\).

Chứng minh tam giác \(BFC\) vuông. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông tính \(FC\), từ đó tính diện tích tam giác \(BFC\).

c) Chứng minh \(\angle GBD = \angle ABC = \angle AFC\), từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \(ACED\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\angle BED = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow DE \bot BC \Rightarrow \angle CED = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ACED\) có \(\angle CAD + \angle CED = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) \( \Rightarrow \)Tứ giác \(ACED\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Biết \(BF = 3cm\). Tính \(BC\) và diện tích tam giác \(BFC\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {4^2} + {3^2} = 16 + 9 = 25\\ \Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Ta có \(\angle BFD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BF \bot FD\) hay \(BF \bot FC \Rightarrow \Delta BFC\) vuông tại \(F\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(BFC\) ta có:

\(F{C^2} = B{C^2} - B{F^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16\)

\( \Rightarrow FC = \sqrt {16} = 4\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy \({S_{BFC}} = \frac{1}{2}FB.FC = \frac{1}{2}.3.4 = 6\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

c) Kéo dài \(AF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(G\). Chứng minh rằng \(BA\) là tia phân giác của góc \(\angle CBG\).

Nhận thấy bốn điểm \(B,\,\,D,\,\,F,\,\,G\) cùng thuộc \(\left( O \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(BDFG\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle GBD = \angle AFD = \angle AFC\) (1) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tứ giác \(AFBC\) có: \(\angle BAC = \angle BFC = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AFBC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do đó \(\angle ABC = \angle AFC\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle GBD = \angle ABC \Rightarrow BA\) là tia phân giác của góc \(\angle CBG\) (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link