Với giá trị nào của $m$ thì giá trị lớn nhất của $f\left( x \right) = \left| {2x - m} \right|$

Câu hỏi số 356550:

Vận dụng cao

Với giá trị nào của $m$ thì giá trị lớn nhất của $f\left( x \right) = \left| {2x - m} \right|$ trên $\left[ {1;2} \right]$ đạt giá trị nhỏ nhất?

$2$

$3$

$4$

$5$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356550

Phương pháp giải

Cho hàm số $f\left( x \right) = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ và đoạn $\left[ {\alpha ;\beta } \right] \subset \mathbb{R}.$ Khi đó đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {\alpha ;\beta } \right]$ là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {\alpha ;\beta } \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {f\left( \alpha \right)} \right|;\left| {f\left( \beta \right)} \right|} \right\}\end{array} \right..$

Giải chi tiết

Xét hàm số $y = 2x - m$ có $a = 2 \Rightarrow y = 2x - m$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\\\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\end{array} \right..$

Đặt $M = \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {1;2} \right]} {\rm{ }}f\left( x \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M \ge f\left( 1 \right) = \left| {2 - m} \right|\\M \ge f\left( 2 \right) = \left| {4 - m} \right|\end{array} \right..$

$M \ge \frac{{f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right)}}{2} = \frac{{\left| {2 - m} \right| + \left| {4 - m} \right|}}{2} \ge \frac{{\left| {\left( {2 - m} \right) + \left( {m - 4} \right)} \right|}}{2} = 1.$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {2 - m} \right| = \left| {4 - m} \right|}\\{\left( {2 - m} \right)\left( {4 - m} \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2 - m = 4 - m\\2 - m = - 4 + m\end{array} \right.\\2 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 3\\2 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3} \right..$

Vậy GTNN của $M$ là 1 khi và chỉ khi $m = 3.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.