Trong mặt phẳng hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A, \) biết các đỉnh

Câu hỏi số 357075:

Thông hiểu

Trong mặt phẳng hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A, \) biết các đỉnh \(A,\, B,\, C\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(\left( d \right):x + y - 5 = 0;{\rm{ }}\left( {{d_1}} \right):x + 1 = 0;{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right):y + 2 = 0.\) Tìm toạ độ các đỉnh \(A,\, B,\, C\) biết \(BC = 5\sqrt 2 \) và tung độ của \(B\) không dương.

A. \(A\left( { - 3;8} \right);B\left( { - 1; - 3} \right);C\left( {6; - 2} \right)\)

B. \(A\left( {3;2} \right);B\left( { - 1; - 1} \right);C\left( {6; - 2} \right)\)

C. \(A\left( {3;2} \right);B\left( { - 1;3} \right);C\left( {4; - 2} \right)\)

D. \(A\left( {1;4} \right);B\left( { - 1; - 1} \right);C\left( {6; - 2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:357075

Phương pháp giải

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB = AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\\AB = AC\end{array} \right..\)

Giải chi tiết

Chú ý: \({d_1} \bot {d_2}\) và \(\Delta ABC\) vuông cân tại \[A\] nên \[A\] cách đều \({d_1},{d_2}\)

Ta có: \(A \in d:\,\,\,x + y - 5 = 0 \Rightarrow A\left( {a;\,\,5 - a} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {A;\,\,{d_1}} \right) = d\left( {A;\,\,{d_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{1} = \frac{{\left| {5 - a + 2} \right|}}{1}\\ \Leftrightarrow \left| {a + 1} \right| = \left| {7 - a} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 1 = 7 - a\\a + 1 = a - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow A\left( {3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}B \in {d_1} \Rightarrow B\left( { - 1;\,\,b} \right)\,\,\,\,\left( {b \le 0} \right)\\C \in {d_2} \Rightarrow C\left( {c; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;\,\,b - 2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {c - 3;\,\, - 4} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {c + 1;\,\, - 2 - b} \right)\end{array} \right..\)

\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.\)

Lại có \(BC = 5\sqrt 2 \Rightarrow B{C^2} = 50\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {c - 3} \right) - 4\left( {b - 2} \right) = 0\\{\left( {c + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c - 3 = 2 - b\\{\left( {c + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\{\left( {5 - b + 1} \right)^2} + {\left( {2 + b} \right)^2} = 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\2{b^2} - 8b - 10 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 5 - b\\\left[ \begin{array}{l}b = 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\b = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 1\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1; - 1} \right)\\C\left( {6; - 2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.