Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có phân giác trong AD và đường cao

Câu hỏi số 357078:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có phân giác trong AD và đường cao \(CH\) lần lượt có phương trình là \(x + y - 2 = 0,{\rm{ }}x - 2y + 5 = 0.\) Điểm \(M\left( {3;0} \right)\) thuộc đoạn \(AC\) thoả mãn \(AB = 2AM.\) Xác định toạ độ ba đỉnh của tam giác \(ABC.\)

A. \(A\left( { - 1;3} \right);B\left( {3; - 3} \right);C\left( { - 1;2} \right)\)

B. \(A\left( {0;2} \right);B\left( {3; - 3} \right);C\left( { - 1;2} \right)\)

C. \(A\left( {0;2} \right);B\left( {1; - 3} \right);C\left( { - 1;2} \right)\)

D. \(A\left( {1;1} \right);B\left( {3; - 3} \right);C\left( { - 1;2} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:357078

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường cao và đường phân giác để làm bài.

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(AD\)

Đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {3;\,\,0} \right)\) và vuông góc với \(AD\) có phương trình: \(x - 3 - y = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(d.\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(ME.\)

Khi đó tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right).\\ \Rightarrow E\left( {2; - 1} \right).\end{array}\)

Đường thẳng \(AB\) qua \(E\) và vuông góc với \(CH \Rightarrow \left( {AB} \right):\,\,\,2\left( {x - 2} \right) + y + 1 = 0 \Leftrightarrow \,\,2x + y - 3 = 0\)

\( \Rightarrow \) Toạ độ \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 3 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( {1;\,\,1} \right)} \right.\\ \Rightarrow PT\left( {AM} \right):\,\,\frac{{x - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{y - 1}}{{0 - 1}} \Leftrightarrow x - 1 = - 2\left( {y - 1} \right)\\ \Leftrightarrow x + 2y - 3 = 0.\end{array}\)

Lại có: \(AB = 2AM \Rightarrow E\) trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow B\left( {3; - 3} \right)\)

Toạ độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 3 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Rightarrow C\left( { - 1;2} \right)} \right.\)

Chọn D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.