Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ biết $B$ và $C$

Câu hỏi số 357081:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ biết $B$ và $C$ đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. Đường phân giác trong của góc $\widehat {ABC}$ là $d:x + 2y - 5 = 0.$ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC,$ biết đường thẳng $AC$ đi qua điểm $K\left( {6;2} \right).$

A (\frac{31}{5}; \frac{17}{5}); B (5; - 5); C (- 5; 5)

$A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( {5; - 5} \right);C\left( { - 5;5} \right)$

A (- \frac{31}{5}; - \frac{17}{5}); B (- 5; 5); C (5; - 5)

$A\left( { - \frac{{31}}{5}; - \frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)$

A (- \frac{31}{5}; \frac{17}{5}); B (- 5; 5); C (5; - 5)

$A\left( { - \frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)$

A (\frac{31}{5}; \frac{17}{5}); B (- 5; 5); C (5; - 5)

$A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357081

Phương pháp giải

$\Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.$

$B,\,\,C$ đối xứng với nhau qua gốc tọa độ $O \Rightarrow O$ là trung điểm của $BC.$

Giải chi tiết

Ta có: $B \in d:\,\,x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow B\left( {5 - 2b;\,\,b} \right).$

Lại có: $B,\,\,C$ đối xứng với nhau qua gốc tọa độ $O \Rightarrow O$ là trung điểm của $BC.$

$\Rightarrow C\left( {2b - 5;\,\, - b} \right).$

Gọi $I$ là điểm đối xứng với $O$ qua phân giác trong của $\angle ABC \Rightarrow I\left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow I \in AB.$

$\Delta ABC$ vuông tại $A \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {2b - 3;4 - b} \right)$ vuông góc với $\overrightarrow {CK} = \left( {11 - 2b;2 + b} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2b - 3} \right)\left( {11 - 2b} \right) + \left( {4 - b} \right)\left( {2 + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 5{b^2} + 30b - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\end{array}$

+) $b = 1 \Rightarrow B\left( {3;1} \right),C\left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\left( {loai{\rm{ vi }}B \equiv A} \right)$

+) $b = 5 \Rightarrow B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5; - 5} \right) \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)$

Chọn D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.