Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) biết \(B\) và \(C \)

Câu hỏi số 357081:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) biết \(B\) và \(C \) đối xứng với nhau qua gốc toạ độ. Đường phân giác trong của góc \(\widehat {ABC}\) là \(d:x + 2y - 5 = 0.\) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác \(ABC,\) biết đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(K\left( {6;2} \right).\)

A. \(A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( {5; - 5} \right);C\left( { - 5;5} \right)\)

B. \(A\left( { - \frac{{31}}{5}; - \frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)\)

C. \(A\left( { - \frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)\)

D. \(A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right);B\left( { - 5;5} \right);C\left( {5; - 5} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:357081

Phương pháp giải

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.\)

\(B,\,\,C\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BC.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(B \in d:\,\,x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow B\left( {5 - 2b;\,\,b} \right).\)

Lại có: \(B,\,\,C\) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ \(O \Rightarrow O\) là trung điểm của \(BC.\)

\( \Rightarrow C\left( {2b - 5;\,\, - b} \right).\)

Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(O\) qua phân giác trong của \(\angle ABC \Rightarrow I\left( {2;\,\,4} \right) \Rightarrow I \in AB.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \left( {2b - 3;4 - b} \right)\) vuông góc với \(\overrightarrow {CK} = \left( {11 - 2b;2 + b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2b - 3} \right)\left( {11 - 2b} \right) + \left( {4 - b} \right)\left( {2 + b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 5{b^2} + 30b - 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 1}\\{b = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

+) \(b = 1 \Rightarrow B\left( {3;1} \right),C\left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\left( {loai{\rm{ vi }}B \equiv A} \right)\)

+) \(b = 5 \Rightarrow B\left( { - 5;5} \right),C\left( {5; - 5} \right) \Rightarrow A\left( {\frac{{31}}{5};\frac{{17}}{5}} \right)\)

Chọn D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.