Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác ABC có đường cao \(BH:3x + 4y + 10 = 0\),

Câu hỏi số 357086:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác ABC có đường cao \(BH:3x + 4y + 10 = 0\), đường phân giác trong góc \(A\) là \(AD\) có phương trình \(x - y + 1 = 0,\) điểm \(M\left( {0;2} \right)\) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng \(\sqrt 2 .\) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác \(ABC\) biết toạ độ điểm \(C\) là các số nguyên.

A. \(A\left( {5;6} \right);B\left( { - 3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)\)

B. \(A\left( {4;5} \right);B\left( { - 3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)\)

C. \(A\left( {5;6} \right);B\left( {3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)\)

D. \(A\left( {4;5} \right);B\left( {3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( { - 1;1} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:357086

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để làm bài toán.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AD.\)

\(AC\) là đường thẳng đi qua \(N\left( {1;\,\,1} \right)\) và vuông góc với \(BH:\,\,\,3x + 4y + 10 = 0\)

\( \Rightarrow AC:\,\,4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 1 = 0.\)

Ta có: \(AD \cap AC = \left\{ A \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4;\,\,5} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {4;\,\,5} \right)\) và \(M\left( {0;\,\,2} \right)\) là:

\(\frac{{x - 4}}{{0 - 4}} = \frac{{y - 5}}{{2 - 5}} \Leftrightarrow 3x - 12 = 4y - 20 \Leftrightarrow 3x - 4y + 8 = 0.\)

Có \(BH \cap AB = \left\{ B \right\} \Rightarrow \) tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 8 = 0\\3x + 4y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3;\, - \frac{1}{4}} \right).\)

Gọi \(C \in AC:\,\,\,4x - 3y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\,\frac{{4c - 1}}{3}} \right)\,\,\,\,\,\left( {c \in \mathbb{Z}} \right).\)

Ta có \(MC = \sqrt 2 \Leftrightarrow M{C^2} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {0 - c} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{4c - 1}}{3}} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {c^2} + {\left( {\frac{7}{3} - \frac{{4c}}{3}} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{9}{c^2} - \frac{{56}}{9}c + \frac{{31}}{9} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\c = \frac{{31}}{{25}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\,\,1} \right).\end{array}\)

Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có hai điểm đều thoả mãn.

Chọn B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.