Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác ABC có đường cao $BH:3x + 4y + 10 = 0$ ,

Câu hỏi số 357086:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác ABC có đường cao $BH:3x + 4y + 10 = 0$ , đường phân giác trong góc $A$ là $AD$ có phương trình $x - y + 1 = 0,$ điểm $M\left( {0;2} \right)$ thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một khoảng bằng $\sqrt 2 .$ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết toạ độ điểm $C$ là các số nguyên.

A (5; 6); B (- 3; - \frac{1}{4}); C (1; 1)

$A\left( {5;6} \right);B\left( { - 3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)$

A (4; 5); B (- 3; - \frac{1}{4}); C (1; 1)

$A\left( {4;5} \right);B\left( { - 3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)$

A (5; 6); B (3; - \frac{1}{4}); C (1; 1)

$A\left( {5;6} \right);B\left( {3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( {1;1} \right)$

A (4; 5); B (3; - \frac{1}{4}); C (- 1; 1)

$A\left( {4;5} \right);B\left( {3; - \frac{1}{4}} \right);C\left( { - 1;1} \right)$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357086

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường phân giác trong của tam giác để làm bài toán.

Giải chi tiết

Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $AD.$

$AC$ là đường thẳng đi qua $N\left( {1;\,\,1} \right)$ và vuông góc với $BH:\,\,\,3x + 4y + 10 = 0$

$\Rightarrow AC:\,\,4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 1 = 0.$

Ta có: $AD \cap AC = \left\{ A \right\} \Rightarrow$ tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {4;\,\,5} \right).$

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {4;\,\,5} \right)$ và $M\left( {0;\,\,2} \right)$ là:

$\frac{{x - 4}}{{0 - 4}} = \frac{{y - 5}}{{2 - 5}} \Leftrightarrow 3x - 12 = 4y - 20 \Leftrightarrow 3x - 4y + 8 = 0.$

Có $BH \cap AB = \left\{ B \right\} \Rightarrow$ tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 8 = 0\\3x + 4y + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { - 3;\, - \frac{1}{4}} \right).$

Gọi $C \in AC:\,\,\,4x - 3y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {c;\,\,\frac{{4c - 1}}{3}} \right)\,\,\,\,\,\left( {c \in \mathbb{Z}} \right).$

Ta có $MC = \sqrt 2 \Leftrightarrow M{C^2} = 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {0 - c} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{4c - 1}}{3}} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {c^2} + {\left( {\frac{7}{3} - \frac{{4c}}{3}} \right)^2} = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{25}}{9}{c^2} - \frac{{56}}{9}c + \frac{{31}}{9} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\c = \frac{{31}}{{25}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\,\,1} \right).\end{array}$

Kiểm tra điều kiện B, C khác phía với AD, ta có hai điểm đều thoả mãn.

Chọn B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.