Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) biết phương trình các đường thẳng

Câu hỏi số 357088:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) biết phương trình các đường thẳng chứa cạnh \(AB,\, BC\) lần lượt là \(4x + 3y - 4 = 0;{\rm{ }}x - y - 1 = 0.\) Phân giác trong góc \(A\) nằm trên đường thẳng \(x + 2y - 6 = 0.\) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác \(ABC.\)

A. \(A\left( {2; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {5;4} \right)\)

B. \(A\left( { - 1;\frac{8}{3}} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {3;2} \right)\)

C. \(A\left( {4; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {5;4} \right)\)

D. \(A\left( {2; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {6;5} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357088

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để làm bài.

Giải chi tiết

Toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 3y - 4 = 0}\\{x + 2y - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( { - 2;4} \right)} \right.\)

Toạ độ của \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 3y - 4 = 0}\\{x - y - 1 = 0}\end{array} \Rightarrow B\left( {1;0} \right)} \right.\)

Phương trình \(AC\) qua điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) có dạng:\(a\left( {x + 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a - 4b = 0\)

Gọi \({\Delta _1}:4x + 3y - 4 = 0;{\rm{ }}{\Delta _2}:x + 2y - 6 = 0;{\rm{ }}{\Delta _3}:ax + by + 2a - 4b = 0\)

Từ giả thiết suy ra \(\angle \left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = \angle \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\). Do đó:

\(\begin{array}{l}\cos \angle \left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = \cos \angle \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.a + 2.b} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4.1 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow \left| {a + 2b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow a\left( {3{\rm{a}} - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{3a = 4b}\end{array}} \right.\end{array}\)

\(a = 0 \Rightarrow b \ne 0 \Rightarrow {\Delta _3}:y - 4 = 0\) \(3a - 4b = 0.\) chọn \(a = 4,b = 3 \Rightarrow {\Delta _3}:4x + 3y - 4 = 0\left( { \equiv {\Delta _1}} \right)\)

Do vậy, phương trình của đường thẳng \(AC\) là \(y - 4 = 0\)

Toạ độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 4 = 0}\\{x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\end{array} \Rightarrow C\left( {5;4} \right)} \right.} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.