Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ biết phương trình các đường thẳng

Câu hỏi số 357088:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ biết phương trình các đường thẳng chứa cạnh $AB,\, BC$ lần lượt là $4x + 3y - 4 = 0;{\rm{ }}x - y - 1 = 0.$ Phân giác trong góc $A$ nằm trên đường thẳng $x + 2y - 6 = 0.$ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC.$

A (2; - 4); B (1; 0); C (5; 4)

$A\left( {2; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {5;4} \right)$

A (- 1; \frac{8}{3}); B (1; 0); C (3; 2)

$A\left( { - 1;\frac{8}{3}} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {3;2} \right)$

A (4; - 4); B (1; 0); C (5; 4)

$A\left( {4; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {5;4} \right)$

A (2; - 4); B (1; 0); C (6; 5)

$A\left( {2; - 4} \right);B\left( {1;0} \right);C\left( {6;5} \right)$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357088

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để làm bài.

Giải chi tiết

Toạ độ của A là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 3y - 4 = 0}\\{x + 2y - 6 = 0}\end{array} \Rightarrow A\left( { - 2;4} \right)} \right.$

Toạ độ của $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 3y - 4 = 0}\\{x - y - 1 = 0}\end{array} \Rightarrow B\left( {1;0} \right)} \right.$

Phương trình $AC$ qua điểm $A\left( { - 2;4} \right)$ có dạng: $a\left( {x + 2} \right) + b\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + 2a - 4b = 0$

Gọi ${\Delta _1}:4x + 3y - 4 = 0;{\rm{ }}{\Delta _2}:x + 2y - 6 = 0;{\rm{ }}{\Delta _3}:ax + by + 2a - 4b = 0$

Từ giả thiết suy ra $\angle \left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = \angle \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$ . Do đó:

$\begin{array}{l}\cos \angle \left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = \cos \angle \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {1.a + 2.b} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4.1 + 2.3} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow \left| {a + 2b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow a\left( {3{\rm{a}} - 4b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{3a = 4b}\end{array}} \right.\end{array}$

$a = 0 \Rightarrow b \ne 0 \Rightarrow {\Delta _3}:y - 4 = 0$

$3a - 4b = 0.$ chọn

$a = 4,b = 3 \Rightarrow {\Delta _3}:4x + 3y - 4 = 0\left( { \equiv {\Delta _1}} \right)$

Do vậy, phương trình của đường thẳng $AC$ là $y - 4 = 0$

Toạ độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 4 = 0}\\{x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5}\\{y = 4}\end{array} \Rightarrow C\left( {5;4} \right)} \right.} \right.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.