Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) các đỉnh \(A,\, B\)

Câu hỏi số 357090:

Vận dụng

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) các đỉnh \(A,\, B\) thuộc đường thẳng \(y = 2,\) phương trình cạnh BC là \(\sqrt 3 x - y + 2 = 0.\) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(\sqrt 3 \) và hoành độ của điểm \(A\) không âm.

A. \(A\left( {3;2} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)

B. \(A\left( {3 + \sqrt 3 ;2} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)

C. \(A\left( {3 - \sqrt 3 ;2} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)

D. \(A\left( {\sqrt 3 ;2} \right);B\left( {0;2} \right);C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357090

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = pr\) với \(p\) là nửa chu vi của \(\Delta \) và \(r\) là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta .\)

Giải chi tiết

\(B = d \cap BC \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\\sqrt 3 x - y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {0;\,\,2} \right).\)

Giả sử \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( {a;\,\,\,2} \right) \in d\,\,\,\,\,\left( {a \ne 2} \right)\\C\left( {c;\,\,2 + c\sqrt 3 } \right) \in BC\,\,\,\,\,\left( {c \ne 0} \right)\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - a;0} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {c - a;c\sqrt 3 } \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {c;c\sqrt 3 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| a \right|\\AC = \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}} \\BC = 2\left| c \right|\end{array} \right.\)

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là \(r = \sqrt 3 \)\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{S = p{\rm{r}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\frac{1}{2}AB.AC = \frac{{AB + BC + AC}}{2}.\sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a\left( {c - a} \right) = 0}\\{\left| a \right|\sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}} = \left( {\left| a \right| + 2\left| c \right| + \sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^2} + 3{c^2}} } \right)\sqrt 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = a \ne 0}\\{\left| a \right| = 3 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = a = 3 + \sqrt 3 }\\{c = a = - 3 - \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {3 + \sqrt 3 ;2} \right),C\left( {3 + \sqrt 3 ;5 + 3\sqrt 3 } \right)}\\{A\left( { - 3 - \sqrt 3 ;2} \right),C\left( { - 3 - \sqrt 3 ; - 1 - 3\sqrt 3 } \right)\,\,\,\,\,\left( {loai{\rm{ vi }}{x_A} \ge 0} \right)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.