Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ cân tại $C$ có diện tích bằng

Câu hỏi số 357092:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ cân tại $C$ có diện tích bằng $10,$ phương trình cạnh $AB$ là $x - 2y = 0$ , điểm $I\left( {4;2} \right)$ là trung điểm của $AB$ và $M\left( {4;\frac{9}{2}} \right)$ thuộc cạnh $BC.$ Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết tung độ điểm B lớn hơn hoặc bằng $3.$

$A\left( {6;3} \right);B\left( {2;1} \right);C\left( {4;6} \right)$

$A\left( {2;1} \right);B\left( {6;3} \right);C\left( {2;6} \right)$

$A\left( {2;1} \right);B\left( {6;3} \right);C\left( { - 2;6} \right)$

$A\left( {2;1} \right);B\left( {6;3} \right);C\left( { - 2; - 6} \right)$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357092

Phương pháp giải

$\Delta ABC$ cân tại $C \Rightarrow CA = CB.$

Giải chi tiết

Giả sử $B\left( {2{y_B};{y_B}} \right) \in AB \Rightarrow A\left( {8 - 2{y_B};4 - {y_B}} \right).$

Phương trình $CI:\,\,2x + y - 10 = 0.$

Gọi $C\left( {{x_C};10 - 2{x_C}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CI} } \right| = \sqrt 5 \left| {4 - {x_C}} \right|;\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {20} \left| {{y_B} - 2} \right|$

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}CI.AB = 10 \Leftrightarrow \left| {4{y_B} + 2{x_C} - {x_C}{y_B} - 8} \right| = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C}{y_B} - 4{y_B} - 2{x_C} = - 6{\rm{ }}\left( 1 \right)}\\{{x_C}{y_B} - 4{y_B} - 2{x_C} = - 10{\rm{ }}\left( 2 \right)}\end{array}{\rm{ }}} \right.$

Vì $M \in BC \Rightarrow \overrightarrow {CM} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - {x_C} = k\left( {2{y_B} - 4} \right)}\\{ - \frac{{11}}{2} + 2{x_C} = k\left( {{y_B} - \frac{9}{2}} \right)}\end{array} \Rightarrow 2{x_C}{y_B} - 6{y_B} - 5{x_C} + 16 = 0{\rm{ }}\left( 3 \right)} \right.$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 3 \right)$ : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C}{y_B} - 4{y_B} - 2{x_C} = - 6}\\{2{x_C}{y_B} - 6{y_B} - 5{x_C} + 16 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_B} = - 1 - \sqrt 2 }\\{{y_B} = - 1 + \sqrt 2 }\end{array}\left( {loai \, \, do \,\, {{\rm{y}}_B} \ge 3} \right)} \right.} \right.$

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ : $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C}{y_B} - 4{y_B} - 2{x_C} = - 10}\\{2{x_C}{y_B} - 6{y_B} - 5{x_C} + 16 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_B} = 3}\\{{x_C} = 2}\end{array}\left( {tm} \right)} \right.} \right.$

Chọn C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Click để xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.