Chứng minh rằng: \(A = {2222^{5555}} + {5555^{2222}}\) chia hết cho \(7\).

Câu hỏi số 361930:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361930

Phương pháp giải

Xét số dư của \({2222^{5555}}\) và \({5555^{2222}}\) khi chia cho 7. Sau đó xét tổng các số dư mà bằng 0 thì chia hết.

Giải chi tiết

Ta có: \(2222 \equiv 3\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv {3^4}\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv 81\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\)

Mà \(81 \equiv 4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv 4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta được \({2222^5} \equiv 3.4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\)

\( \Rightarrow {2222^5} \equiv 5\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^{5555}} \equiv {5^{1111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Tương tự: \[{5555^{2222}} \equiv {2^{11111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\]

Cộng vế (3) với (4) ta có: \(A \equiv {2^{1111}} + {5^{1111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 5 \right)\)

Mặt khác: \({2^{1111}} + {5^{1111}} \equiv \left( {2 + 5} \right)\,\,\left( {\bmod 7} \right) \equiv 0\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\) (Tính chất) (6)

Từ (5) và (6) ta được \(A \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right).\)

Vậy \(A = {2222^{5555}} + {5555^{2222}}\) chia hết cho \(7\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link