Chứng minh rằng: \(K = {10^n} + 72n - 1\) chia hết cho \(81.\)

Câu hỏi số 365051:

Vận dụng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:365051

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất:

+) \(a \vdots m \Rightarrow ka \vdots m\left( {k \in N} \right)\) +) \(\left. \begin{array}{l}a \vdots m\\b \vdots m\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {a \pm b} \right) \vdots m\)

Giải chi tiết

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}K = {10^n} + 72n - 1 = {10^n} - 1 + 72n\\\,\,\,\,\,\, = \left( {10 - 1} \right)\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right] + 72n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right] - 9n + 81n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1 - n} \right] + 81n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)} \right] + 81n\end{array}\)

Ta có: \({10^n} - 1 = \left( {10 - 1} \right)\left[ {{{10}^{n - 1}} + ... + 10 + 1} \right]\,\, \vdots \,\,9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{10^{n - 1}} - 1\,\,\, \vdots \,\,9\\{10^{n - 2}} - 1\,\, \vdots \,\,9\\......\\10 - 1\,\, \vdots \,\,9\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)\,\, \vdots \,\,9\\ \Rightarrow 9.\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)} \right]\,\,\, \vdots \,\,81\\ \Rightarrow 9\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1 - n} \right] + 81n\,\, \vdots \,\,81\end{array}\)

Vậy \(K = {10^n} + 72n - 1\,\, \vdots \,\,81\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link